Страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

15. На рисунке построены графики функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, где $x \ge 0$. С помощью графиков сравните значения выражений:

a) 0,42 $0,42^2$

б) 0,42 $0,42^3$

в) $0,42^2$ $0,42^3$

г) 1,35 $1,35^2$

д) 1,35 $1,35^3$

е) $1,35^2$ $1,35^3$

а) Чтобы сравнить значения выражений $0,42$ и $0,42^2$, нужно сравнить значения функций $y=x$ и $y=x^2$ при $x=0,42$. Из графика видно, что на интервале $(0, 1)$ график функции $y=x$ расположен выше графика функции $y=x^2$. Поскольку $0 < 0,42 < 1$, то для этой точки справедливо неравенство $x > x^2$. Следовательно, $0,42 > 0,42^2$.
Ответ: $0,42 > 0,42^2$.

б) Чтобы сравнить $0,42$ и $0,42^3$, нужно сравнить значения функций $y=x$ и $y=x^3$ при $x=0,42$. На интервале $(0, 1)$ график функции $y=x$ расположен выше графика функции $y=x^3$. Так как $x=0,42$ принадлежит этому интервалу, то $x > x^3$. Следовательно, $0,42 > 0,42^3$.
Ответ: $0,42 > 0,42^3$.

в) Чтобы сравнить $0,42^2$ и $0,42^3$, нужно сравнить значения функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0,42$. На интервале $(0, 1)$ график функции $y=x^2$ расположен выше графика функции $y=x^3$. Так как $x=0,42$ принадлежит этому интервалу, то $x^2 > x^3$. Следовательно, $0,42^2 > 0,42^3$.
Ответ: $0,42^2 > 0,42^3$.

г) Чтобы сравнить $1,35$ и $1,35^2$, нужно сравнить значения функций $y=x$ и $y=x^2$ при $x=1,35$. Из графика видно, что на интервале $(1, +\infty)$ график функции $y=x^2$ расположен выше графика функции $y=x$. Поскольку $1,35 > 1$, то для этой точки справедливо неравенство $x^2 > x$. Следовательно, $1,35 < 1,35^2$.
Ответ: $1,35 < 1,35^2$.

д) Чтобы сравнить $1,35$ и $1,35^3$, нужно сравнить значения функций $y=x$ и $y=x^3$ при $x=1,35$. На интервале $(1, +\infty)$ график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=x$. Так как $x=1,35$ принадлежит этому интервалу, то $x^3 > x$. Следовательно, $1,35 < 1,35^3$.
Ответ: $1,35 < 1,35^3$.

е) Чтобы сравнить $1,35^2$ и $1,35^3$, нужно сравнить значения функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1,35$. На интервале $(1, +\infty)$ график функции $y=x^3$ расположен выше графика функции $y=x^2$. Так как $x=1,35$ принадлежит этому интервалу, то $x^3 > x^2$. Следовательно, $1,35^2 < 1,35^3$.
Ответ: $1,35^2 < 1,35^3$.

16. Сколько общих точек имеют графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$, построенные в одной системе координат? Выберите верный от-вет.

1. Ни одной

2. Одну

3. Две

4. Три

Чтобы найти количество общих точек графиков функций $y=x^2$ и $y=x^3$, необходимо найти количество действительных решений системы уравнений:

$ \begin{cases} y=x^2 \\ y=x^3 \end{cases} $

Поскольку в точках пересечения координаты $(x, y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям, мы можем приравнять их правые части:

$x^2 = x^3$

Для решения этого уравнения перенесем все его члены в одну сторону:

$x^3 - x^2 = 0$

Теперь вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $x^2 = 0$, что означает $x_1 = 0$.

2. $x - 1 = 0$, что означает $x_2 = 1$.

Мы получили два различных значения абсциссы ($x$), при которых графики пересекаются. Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение ординаты ($y$), подставив его в любое из исходных уравнений.

• Для $x_1 = 0$:
  $y_1 = 0^2 = 0$.
  Первая общая точка имеет координаты $(0, 0)$.

• Для $x_2 = 1$:
  $y_2 = 1^2 = 1$.
  Вторая общая точка имеет координаты $(1, 1)$.

Таким образом, графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ имеют ровно две общие точки. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует номеру 3.

Ответ: 3. Две

17. На рисунке построен график функции $y = x^2$ и прямые AB, CD, EF. Какие из этих прямых:

а) не пересекают график;

б) пересекают график в одной точке;

в) пересекают график в двух точках?

Ответ: а) .........................

б) .........................

в) .........................

Для решения задачи проанализируем взаимное расположение графика функции (параболы) $y = x^2$ и каждой из заданных прямых: AB, CD и EF.

График функции $y=x^2$ – это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на параболе ее координата $y$ всегда неотрицательна, то есть $y \ge 0$.

а) не пересекают график;

Прямая не пересекает график, если у них нет ни одной общей точки. Рассмотрим прямую EF. Эта прямая является горизонтальной и расположена ниже оси абсцисс (оси $x$). Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ – отрицательное число ($c < 0$).

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = c \end{cases} $

Подставив значение $y$ из второго уравнения в первое, получаем $x^2 = c$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), а по условию $c < 0$, это уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, прямая EF не имеет общих точек с параболой.

Ответ: EF.

б) пересекают график в одной точке;

Прямая пересекает график в одной точке, если система уравнений, описывающая их положение, имеет ровно одно решение. Рассмотрим прямую CD. Это вертикальная прямая, уравнение которой имеет вид $x=k$, где $k$ – некоторая константа (из рисунка видно, что $k$ – отрицательное число).

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ x = k \end{cases} $

Подставив значение $x$ из второго уравнения в первое, получаем $y = k^2$. Так как для любого заданного $k$ значение $y=k^2$ является единственным, система имеет одно решение: $(k, k^2)$. Таким образом, прямая CD пересекает параболу $y=x^2$ ровно в одной точке.

Ответ: CD.

в) пересекают график в двух точках?

Прямая пересекает график в двух точках, если соответствующая система уравнений имеет два различных решения. Рассмотрим прямую AB. Это горизонтальная прямая, расположенная выше оси абсцисс. Ее уравнение имеет вид $y=c$, где $c$ – положительное число ($c > 0$).

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = c \end{cases} $

Подстановка приводит к уравнению $x^2 = c$. Поскольку $c > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{c}$ и $x_2 = -\sqrt{c}$. Это означает, что прямая AB пересекает параболу в двух точках: $(-\sqrt{c}, c)$ и $(\sqrt{c}, c)$.

Ответ: AB.

2. Закончите решение системы уравнений:

$\begin{cases} 9x - 10y = 25, \\ 4x + 5y = 30; \end{cases} \cdot 2$, $\begin{cases} 9x - 10y = 25, \\ 8x + 10y = 60; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - 3y = 23, \\ 3x - 15y = 66; \end{cases} \cdot (-5)$, $\begin{cases} -10x + 15y = -115, \\ 3x - 15y = 66; \end{cases}$

a) Продолжим решение с преобразованной системы уравнений:

Для того чтобы найти переменную $x$, сложим почленно два уравнения системы. Коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-10$ и $10$), поэтому при сложении они взаимно уничтожатся:

$(9x - 10y) + (8x + 10y) = 25 + 60$

Приводим подобные слагаемые:

$17x = 85$

Находим $x$:

$x = \frac{85}{17}$

$x = 5$

Теперь подставим найденное значение $x=5$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Удобнее использовать второе исходное уравнение: $4x + 5y = 30$.

$4 \cdot 5 + 5y = 30$

$20 + 5y = 30$

Переносим $20$ в правую часть уравнения:

$5y = 30 - 20$

$5y = 10$

Находим $y$:

$y = \frac{10}{5}$

$y = 2$

Решением системы является пара чисел $(5; 2)$.
Ответ: $(5; 2)$.

б) Продолжим решение с преобразованной системы уравнений:

Сложим почленно два уравнения системы. Коэффициенты при $y$ ($15$ и $-15$) являются противоположными числами, поэтому при сложении они взаимно уничтожатся:

$(-10x + 15y) + (3x - 15y) = -115 + 66$

Приводим подобные слагаемые:

$-7x = -49$

Находим $x$:

$x = \frac{-49}{-7}$

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x=7$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое исходное уравнение: $2x - 3y = 23$.

$2 \cdot 7 - 3y = 23$

$14 - 3y = 23$

Переносим $14$ в правую часть уравнения:

$-3y = 23 - 14$

$-3y = 9$

Находим $y$:

$y = \frac{9}{-3}$

$y = -3$

Решением системы является пара чисел $(7; -3)$.
Ответ: $(7; -3)$.

3. Закончите решение системы уравнений:

a) $\left\{ \begin{aligned} 2x - 5y &= 5, \\ -3x + 4y &= -18; \end{aligned} \right. \begin{array}{l} |\cdot 3 \\ |\cdot 2 \end{array} \quad \left\{ \begin{aligned} 6x - 15y &= 15, \\ -6x + 8y &= -36; \end{aligned} \right.$

б) $\left\{ \begin{aligned} 4a - 5b &= -1, \\ 5a - 2b &= -14; \end{aligned} \right. \begin{array}{l} |\cdot 2 \\ |\cdot (-5) \end{array} \quad \left\{ \begin{aligned} 8a - 10b &= -2, \\ -25a + 10b &= 70; \end{aligned} \right.$

а) После преобразования получена система:

$ \begin{cases} 6x - 15y = 15, \\ -6x + 8y = -36; \end{cases} $

Сложим уравнения системы методом алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $x$:

$(6x - 15y) + (-6x + 8y) = 15 + (-36)$

$6x - 15y - 6x + 8y = -21$

$-7y = -21$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{-21}{-7}$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ в первое исходное уравнение $2x - 5y = 5$, чтобы найти $x$:

$2x - 5 \cdot 3 = 5$

$2x - 15 = 5$

$2x = 5 + 15$

$2x = 20$

$x = \frac{20}{2}$

$x = 10$

Ответ: $(10; 3)$

б) После преобразования получена система:

$ \begin{cases} 8a - 10b = -2, \\ -25a + 10b = 70; \end{cases} $

Сложим уравнения системы методом алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $b$:

$(8a - 10b) + (-25a + 10b) = -2 + 70$

$8a - 10b - 25a + 10b = 68$

$-17a = 68$

Теперь найдем значение $a$:

$a = \frac{68}{-17}$

$a = -4$

Подставим найденное значение $a=-4$ в первое исходное уравнение $4a - 5b = -1$, чтобы найти $b$:

$4 \cdot (-4) - 5b = -1$

$-16 - 5b = -1$

$-5b = -1 + 16$

$-5b = 15$

$b = \frac{15}{-5}$

$b = -3$

Ответ: $(-4; -3)$