Страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

3. Принадлежит ли графику функции $y = x^2$ точка:

а) A(-8; 64); б) B(8; -64); в) C(0; 0); г) D(-100; 10 000)?

Ответ:

а) ....................

б) ....................

в) ....................

г) ..............

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки (x и y) в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное — не принадлежит.

Уравнение функции дано в виде $y = x^2$.

а) A(–8; 64)

Подставим координаты точки A в уравнение функции. В данном случае $x = -8$ и $y = 64$.

Получаем: $64 = (-8)^2$

Вычисляем правую часть: $(-8)^2 = (-8) \times (-8) = 64$.

В итоге имеем верное равенство: $64 = 64$.

Следовательно, точка A принадлежит графику функции $y = x^2$.
Ответ: да.

б) B(8; –64)

Подставим координаты точки B в уравнение функции. Здесь $x = 8$ и $y = -64$.

Получаем: $-64 = 8^2$

Вычисляем правую часть: $8^2 = 8 \times 8 = 64$.

В итоге имеем неверное равенство: $-64 \neq 64$.

Следовательно, точка B не принадлежит графику функции $y = x^2$.
Ответ: нет.

в) C(0; 0)

Подставим координаты точки C в уравнение функции. Здесь $x = 0$ и $y = 0$.

Получаем: $0 = 0^2$

Вычисляем правую часть: $0^2 = 0$.

В итоге имеем верное равенство: $0 = 0$.

Следовательно, точка C принадлежит графику функции $y = x^2$.
Ответ: да.

г) D(–100; 10 000)

Подставим координаты точки D в уравнение функции. Здесь $x = -100$ и $y = 10 000$.

Получаем: $10 000 = (-100)^2$

Вычисляем правую часть: $(-100)^2 = (-100) \times (-100) = 10 000$.

В итоге имеем верное равенство: $10 000 = 10 000$.

Следовательно, точка D принадлежит графику функции $y = x^2$.
Ответ: да.

4. Пересекает ли график функции $y = x^2$ заданная прямая? (При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.)

Прямая $y = 81$ пересекает график в точках (-9; 81) и (9; 81)

a) $y = -0.01$

б) $y = 10000$

в) $y = -4$

г) $y = 16$

а) y = -0,01

Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить уравнение $x^2 = y$. Подставим значение $y$ из уравнения прямой: $x^2 = -0,01$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямая не пересекает график функции.
Ответ: не пересекает.

б) y = 10 000

Подставляем значение $y$ в уравнение функции: $x^2 = 10000$. Из этого уравнения находим значения $x$: $x = \pm\sqrt{10000}$, то есть $x_1 = 100$ и $x_2 = -100$. Координата $y$ в точках пересечения равна $10000$. Таким образом, прямая пересекает график в двух точках.
Ответ: пересекает в точках $(-100; 10000)$ и $(100; 10000)$.

в) y = -4

Подставляем значение $y$ в уравнение функции: $x^2 = -4$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным для любого действительного числа $x$, у этого уравнения нет действительных решений. Это означает, что прямая не пересекает график функции.
Ответ: не пересекает.

г) y = 16

Подставляем значение $y$ в уравнение функции: $x^2 = 16$. Решая уравнение, получаем $x = \pm\sqrt{16}$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Координата $y$ в точках пересечения равна $16$. Следовательно, прямая пересекает график в двух точках.
Ответ: пересекает в точках $(-4; 16)$ и $(4; 16)$.

10. Не выполняя построения, определите координаты точки D пересечения графиков уравнений $7x - 2y = 25$ и $11x + 5y = 23$.

Чтобы найти координаты точки пересечения D графиков двух уравнений, не выполняя построения, необходимо решить систему этих уравнений. Координаты точки пересечения $(x; y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно, так как эта точка принадлежит обоим графикам.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 2y = 25 \\ 11x + 5y = 23 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Цель этого метода — получить в уравнениях коэффициенты при одной из переменных, которые являются противоположными числами, чтобы при сложении уравнений эта переменная исчезла.

Умножим первое уравнение на 5, а второе уравнение на 2. Это позволит нам получить коэффициенты $-10$ и $10$ при переменной $y$.

$ \begin{cases} 5 \cdot (7x - 2y) = 5 \cdot 25 \\ 2 \cdot (11x + 5y) = 2 \cdot 23 \end{cases} $

Выполнив умножение, получим новую систему:

$ \begin{cases} 35x - 10y = 125 \\ 22x + 10y = 46 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы почленно (левую часть с левой, правую с правой):

$(35x - 10y) + (22x + 10y) = 125 + 46$

Приведем подобные слагаемые:

$35x + 22x - 10y + 10y = 171$

$57x = 171$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{171}{57}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем, к примеру, первое уравнение: $7x - 2y = 25$.

$7(3) - 2y = 25$

$21 - 2y = 25$

Выразим $y$:

$-2y = 25 - 21$

$-2y = 4$

$y = \frac{4}{-2}$

$y = -2$

Таким образом, координаты точки пересечения D графиков уравнений: $(3; -2)$.

Для проверки подставим найденные значения $x=3$ и $y=-2$ во второе исходное уравнение $11x + 5y = 23$:

$11(3) + 5(-2) = 33 - 10 = 23$

$23 = 23$

Равенство верное, значит, координаты найдены правильно.

Ответ: $D(3; -2)$.