Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

9. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

а) $-1,5ab \cdot (-0,2) a^3b^6 = $

б) $-1\frac{1}{3}x^4y \cdot 0,75xy^9 = $

в) $\frac{2}{9}ac^3 \cdot (-0,18ac^2) = $

г) $-\frac{1}{13}m^2n^2 \cdot (-mn)^3 = $

Укажите, чему равна степень одночлена: а)

б) в) г)

а) Чтобы преобразовать выражение $-1,5ab \cdot (-0,2) a^3b^6$ в одночлен стандартного вида, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями.

1. Умножим числовые коэффициенты: $-1,5 \cdot (-0,2) = 0,3$.

2. Умножим переменные $a$: $a^1 \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4$.

3. Умножим переменные $b$: $b^1 \cdot b^6 = b^{1+6} = b^7$.

4. Соберем полученные части вместе: $0,3a^4b^7$.

Ответ: $0,3a^4b^7$

б) Чтобы преобразовать выражение $-1\frac{1}{3}x^4y \cdot 0,75xy^9$, сначала приведем все коэффициенты к одному виду, например, к обыкновенным дробям.

1. Преобразуем смешанное число: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.

2. Преобразуем десятичную дробь: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

3. Выражение примет вид: $(-\frac{4}{3}x^4y) \cdot (\frac{3}{4}xy^9)$.

4. Умножим коэффициенты: $-\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = -1$.

5. Умножим переменные $x$: $x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$.

6. Умножим переменные $y$: $y^1 \cdot y^9 = y^{1+9} = y^{10}$.

7. Соединим результаты, учитывая, что коэффициент $-1$ обычно не пишется: $-x^5y^{10}$.

Ответ: $-x^5y^{10}$

в) Преобразуем выражение $\frac{2}{9}ac^3 \cdot (-0,18ac^2)$.

1. Умножим коэффициенты: $\frac{2}{9} \cdot (-0,18)$. Можно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную: $-0,18 = -\frac{18}{100}$. Тогда $\frac{2}{9} \cdot (-\frac{18}{100}) = -\frac{2 \cdot 18}{9 \cdot 100} = -\frac{2 \cdot 2}{100} = -\frac{4}{100} = -0,04$.

2. Умножим переменные $a$: $a^1 \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2$.

3. Умножим переменные $c$: $c^3 \cdot c^2 = c^{3+2} = c^5$.

4. Объединим полученные части: $-0,04a^2c^5$.

Ответ: $-0,04a^2c^5$

г) Преобразуем выражение $-\frac{1}{13}m^2n^2 \cdot (-mn)^3$.

1. Сначала упростим второй множитель, возведя его в куб: $(-mn)^3 = (-1)^3 \cdot m^3 \cdot n^3 = -m^3n^3$.

2. Теперь выражение имеет вид: $(-\frac{1}{13}m^2n^2) \cdot (-m^3n^3)$.

3. Умножим коэффициенты: $-\frac{1}{13} \cdot (-1) = \frac{1}{13}$.

4. Умножим переменные $m$: $m^2 \cdot m^3 = m^{2+3} = m^5$.

5. Умножим переменные $n$: $n^2 \cdot n^3 = n^{2+3} = n^5$.

6. Запишем итоговый одночлен: $\frac{1}{13}m^5n^5$.

Ответ: $\frac{1}{13}m^5n^5$

Укажите, чему равна степень одночлена:

Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

а) Для одночлена $0,3a^4b^7$ степень равна сумме показателей $4$ и $7$: $4 + 7 = 11$.

Ответ: 11

б) Для одночлена $-x^5y^{10}$ степень равна сумме показателей $5$ и $10$: $5 + 10 = 15$.

Ответ: 15

в) Для одночлена $-0,04a^2c^5$ степень равна сумме показателей $2$ и $5$: $2 + 5 = 7$.

Ответ: 7

г) Для одночлена $\frac{1}{13}m^5n^5$ степень равна сумме показателей $5$ и $5$: $5 + 5 = 10$.

Ответ: 10

10. Впишите недостающий одночлен так, чтобы полученное равенство было тождеством:

a) $(7a^3b^4)^2$ .................... $98a^{12}b^9$;

б) $(ab^4)^3$ .................... $36a^{11}b^{18}$.

а)

Чтобы найти недостающий одночлен, обозначим его за $X$. Тогда исходное равенство примет вид:
$(7a^3b^4)^2 \cdot X = 98a^{12}b^9$
Сначала упростим выражение в скобках, возведя его в квадрат, используя свойство степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(7a^3b^4)^2 = 7^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 49 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2} = 49a^6b^8$
Теперь наше равенство выглядит так:
$49a^6b^8 \cdot X = 98a^{12}b^9$
Чтобы найти $X$, разделим правую часть тождества на известный множитель из левой части:
$X = \frac{98a^{12}b^9}{49a^6b^8}$
Выполним деление, разделив отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):
$X = (\frac{98}{49}) \cdot (\frac{a^{12}}{a^6}) \cdot (\frac{b^9}{b^8}) = 2 \cdot a^{12-6} \cdot b^{9-8} = 2a^6b^1 = 2a^6b$
Таким образом, недостающий одночлен — это $2a^6b$.
Проверка: $(7a^3b^4)^2 \cdot (2a^6b) = (49a^6b^8) \cdot (2a^6b) = (49 \cdot 2) \cdot (a^6 \cdot a^6) \cdot (b^8 \cdot b) = 98a^{12}b^9$. Равенство верно.
Ответ: $2a^6b$

б)

Аналогично, обозначим недостающий одночлен за $Y$:
$(ab^4)^3 \cdot Y = 36a^{11}b^{18}$
Упростим первый множитель, возведя его в куб:
$(ab^4)^3 = a^3 \cdot (b^4)^3 = a^3 \cdot b^{4 \cdot 3} = a^3b^{12}$
Подставим полученное выражение в исходное равенство:
$a^3b^{12} \cdot Y = 36a^{11}b^{18}$
Выразим $Y$, разделив правую часть на левый множитель:
$Y = \frac{36a^{11}b^{18}}{a^3b^{12}}$
Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$Y = (\frac{36}{1}) \cdot (\frac{a^{11}}{a^3}) \cdot (\frac{b^{18}}{b^{12}}) = 36 \cdot a^{11-3} \cdot b^{18-12} = 36a^8b^6$
Недостающий одночлен — это $36a^8b^6$.
Проверка: $(ab^4)^3 \cdot (36a^8b^6) = (a^3b^{12}) \cdot (36a^8b^6) = 36 \cdot (a^3 \cdot a^8) \cdot (b^{12} \cdot b^6) = 36a^{11}b^{18}$. Равенство верно.
Ответ: $36a^8b^6$

11. Выполняя преобразования, ученик пришёл к выводу, что каждое из выражений:

а) $(-3bc)^4 \cdot 3b^4c^7$;

б) $3c^3 \cdot (-3b^2c^2)^4$;

в) $(-bc^2)^3 \cdot (-3bc)^5$;

г) $(-3b^2c^2)^3 \cdot (-3b^2c^5)$

тождественно равно одночлену $243b^8c^{11}$. Прав ли он?

Для проверки утверждения ученика необходимо упростить каждое из предложенных выражений.

а) Упростим выражение $(-3bc)^4 \cdot 3b^4c^7$.

Сначала возведем в степень первый множитель, используя свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:

$(-3bc)^4 = (-3)^4 \cdot b^4 \cdot c^4 = 81b^4c^4$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$81b^4c^4 \cdot 3b^4c^7$

Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, складывая их показатели:

$(81 \cdot 3) \cdot (b^4 \cdot b^4) \cdot (c^4 \cdot c^7) = 243 \cdot b^{4+4} \cdot c^{4+7} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$.

б) Упростим выражение $3c^3 \cdot (-3b^2c^2)^4$.

Возведем в степень второй множитель:

$(-3b^2c^2)^4 = (-3)^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^2)^4 = 81 \cdot b^{2 \cdot 4} \cdot c^{2 \cdot 4} = 81b^8c^8$

Теперь выполним умножение:

$3c^3 \cdot 81b^8c^8$

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(3 \cdot 81) \cdot b^8 \cdot (c^3 \cdot c^8) = 243 \cdot b^8 \cdot c^{3+8} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$.

в) Упростим выражение $(-bc^2)^3 \cdot (-3bc)^5$.

Возведем в степень каждый множитель по отдельности:

$(-bc^2)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 \cdot (c^2)^3 = -1 \cdot b^3 \cdot c^{2 \cdot 3} = -b^3c^6$

$(-3bc)^5 = (-3)^5 \cdot b^5 \cdot c^5 = -243b^5c^5$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(-b^3c^6) \cdot (-243b^5c^5)$

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(-1 \cdot -243) \cdot (b^3 \cdot b^5) \cdot (c^6 \cdot c^5) = 243 \cdot b^{3+5} \cdot c^{6+5} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$.

г) Упростим выражение $(-3b^2c^2)^3 \cdot (-3b^2c^5)$.

Возведем в степень первый множитель:

$(-3b^2c^2)^3 = (-3)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^2)^3 = -27 \cdot b^{2 \cdot 3} \cdot c^{2 \cdot 3} = -27b^6c^6$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$(-27b^6c^6) \cdot (-3b^2c^5)$

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(-27 \cdot -3) \cdot (b^6 \cdot b^2) \cdot (c^6 \cdot c^5) = 81 \cdot b^{6+2} \cdot c^{6+5} = 81b^8c^{11}$

Результат не совпадает с одночленом, указанным в условии ($81b^8c^{11} \ne 243b^8c^{11}$).

Ответ: $81b^8c^{11}$.

Проанализировав решения, мы видим, что выражения в пунктах а), б) и в) действительно тождественно равны $243b^8c^{11}$. Однако выражение в пункте г) равно $81b^8c^{11}$. Поскольку ученик пришел к выводу, что каждое из выражений равно $243b^8c^{11}$, а это неверно для последнего выражения, то его вывод является ошибочным.

Ответ: Нет, ученик не прав.

1. Из линейного уравнения с двумя переменными выразите y через x:

а) $y - x = 5:$

б) $2x - y = 6:$

в) $4x - 3y = 17:$

а)

Чтобы выразить переменную y через x в уравнении $y - x = 5$, необходимо изолировать y в левой части уравнения. Для этого перенесем -x в правую часть, изменив его знак на противоположный.

$y - x = 5$

$y = 5 + x$

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами:

$y = x + 5$

Ответ: $y = x + 5$

б)

В уравнении $2x - y = 6$ для выражения y через x сначала оставим член с y в левой части, а 2x перенесем в правую часть со сменой знака:

$2x - y = 6$

$-y = 6 - 2x$

Теперь, чтобы найти y, а не -y, умножим обе части уравнения на -1:

$(-1) \cdot (-y) = (-1) \cdot (6 - 2x)$

$y = -6 + 2x$

Запишем в стандартном виде, поставив член с x на первое место:

$y = 2x - 6$

Ответ: $y = 2x - 6$

в)

Рассмотрим уравнение $4x - 3y = 17$. Чтобы выразить y, сначала изолируем член -3y. Для этого перенесем 4x в правую часть уравнения:

$4x - 3y = 17$

$-3y = 17 - 4x$

Далее, чтобы найти y, разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на -3:

$y = \frac{17 - 4x}{-3}$

Чтобы упростить выражение, можно поменять знаки в числителе и знаменателе (что равносильно умножению дроби на $\frac{-1}{-1}$):

$y = \frac{-(17 - 4x)}{-(-3)} = \frac{-17 + 4x}{3}$

Запишем числитель в более привычном порядке:

$y = \frac{4x - 17}{3}$

Также это выражение можно представить в виде:

$y = \frac{4}{3}x - \frac{17}{3}$

Ответ: $y = \frac{4x - 17}{3}$

2. Из линейного уравнения с двумя переменными выразите $x$ че- рез $y$:

a) $x + 3y = 8$:

б) $5y - x = 7$:

в) $3x + 2y = 5$:

а) Чтобы выразить переменную $x$ из уравнения $x + 3y = 8$, необходимо изолировать $x$ в левой части уравнения. Для этого переносим слагаемое $3y$ в правую часть, меняя его знак на противоположный.
$x + 3y = 8$
$x = 8 - 3y$
Ответ: $x = 8 - 3y$

б) В уравнении $5y - x = 7$, чтобы выразить $x$, сначала перенесем $5y$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$-x = 7 - 5y$
Теперь, чтобы избавиться от знака "минус" перед $x$, умножим обе части уравнения на $-1$.
$x = -(7 - 5y)$
$x = -7 + 5y$, что можно записать как $x = 5y - 7$.
Ответ: $x = 5y - 7$

в) В уравнении $3x + 2y = 5$ для выражения $x$ сначала переносим слагаемое $2y$ в правую часть, изменив его знак.
$3x = 5 - 2y$
Далее, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $3$.
$x = \frac{5 - 2y}{3}$
Ответ: $x = \frac{5 - 2y}{3}$

3. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} x=-2, \\ 2x+5y=11; \end{cases}$

$2 \cdot (-2) + 5y = 11,$

$-4 + 5y = 11;$

$5y = 11+4=15,$

$y=3.$

Ответ: $x=-2, y=3.$

a) $\begin{cases} 2x-3y=16, \\ x=5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y=2, \\ 3x+4y=11. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 16 \\ x = 5 \end{cases} $

Поскольку значение $x$ уже известно из второго уравнения, мы можем подставить его в первое уравнение, чтобы найти значение $y$. Этот метод называется методом подстановки.

Подставляем $x=5$ в уравнение $2x - 3y = 16$:

$2 \cdot 5 - 3y = 16$

Выполняем умножение:

$10 - 3y = 16$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Перенесем 10 из левой части в правую с противоположным знаком:

$-3y = 16 - 10$

$-3y = 6$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -3:

$y = \frac{6}{-3}$

$y = -2$

Таким образом, решение системы: $x=5$ и $y=-2$.

Ответ: $x=5, y=-2$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 2 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases} $

В этой системе из первого уравнения нам известно значение $y$. Используем метод подстановки, чтобы найти $x$.

Подставляем $y=2$ во второе уравнение $3x + 4y = 11$:

$3x + 4 \cdot 2 = 11$

Выполняем умножение:

$3x + 8 = 11$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем 8 из левой части в правую, изменив знак:

$3x = 11 - 8$

$3x = 3$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{3}{3}$

$x = 1$

Решением системы является пара чисел $x=1$ и $y=2$.

Ответ: $x=1, y=2$.