Номер 11, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 11, страница 87.

Условие.

11. Выполняя преобразования, ученик пришёл к выводу, что каждое из выражений:

а) $(-3bc)^4 \cdot 3b^4c^7$;

б) $3c^3 \cdot (-3b^2c^2)^4$;

в) $(-bc^2)^3 \cdot (-3bc)^5$;

г) $(-3b^2c^2)^3 \cdot (-3b^2c^5)$

тождественно равно одночлену $243b^8c^{11}$. Прав ли он?

Решение.

Решение 2.

Для проверки утверждения ученика необходимо упростить каждое из предложенных выражений.

а) Упростим выражение $(-3bc)^4 \cdot 3b^4c^7$.

Сначала возведем в степень первый множитель, используя свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:

$(-3bc)^4 = (-3)^4 \cdot b^4 \cdot c^4 = 81b^4c^4$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$81b^4c^4 \cdot 3b^4c^7$

Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, складывая их показатели:

$(81 \cdot 3) \cdot (b^4 \cdot b^4) \cdot (c^4 \cdot c^7) = 243 \cdot b^{4+4} \cdot c^{4+7} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$.

б) Упростим выражение $3c^3 \cdot (-3b^2c^2)^4$.

Возведем в степень второй множитель:

$(-3b^2c^2)^4 = (-3)^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^2)^4 = 81 \cdot b^{2 \cdot 4} \cdot c^{2 \cdot 4} = 81b^8c^8$

Теперь выполним умножение:

$3c^3 \cdot 81b^8c^8$

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(3 \cdot 81) \cdot b^8 \cdot (c^3 \cdot c^8) = 243 \cdot b^8 \cdot c^{3+8} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$.

в) Упростим выражение $(-bc^2)^3 \cdot (-3bc)^5$.

Возведем в степень каждый множитель по отдельности:

$(-bc^2)^3 = (-1)^3 \cdot b^3 \cdot (c^2)^3 = -1 \cdot b^3 \cdot c^{2 \cdot 3} = -b^3c^6$

$(-3bc)^5 = (-3)^5 \cdot b^5 \cdot c^5 = -243b^5c^5$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(-b^3c^6) \cdot (-243b^5c^5)$

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(-1 \cdot -243) \cdot (b^3 \cdot b^5) \cdot (c^6 \cdot c^5) = 243 \cdot b^{3+5} \cdot c^{6+5} = 243b^8c^{11}$

Результат совпадает с одночленом, указанным в условии.

Ответ: $243b^8c^{11}$.

г) Упростим выражение $(-3b^2c^2)^3 \cdot (-3b^2c^5)$.

Возведем в степень первый множитель:

$(-3b^2c^2)^3 = (-3)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^2)^3 = -27 \cdot b^{2 \cdot 3} \cdot c^{2 \cdot 3} = -27b^6c^6$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$(-27b^6c^6) \cdot (-3b^2c^5)$

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(-27 \cdot -3) \cdot (b^6 \cdot b^2) \cdot (c^6 \cdot c^5) = 81 \cdot b^{6+2} \cdot c^{6+5} = 81b^8c^{11}$

Результат не совпадает с одночленом, указанным в условии ($81b^8c^{11} \ne 243b^8c^{11}$).

Ответ: $81b^8c^{11}$.

Проанализировав решения, мы видим, что выражения в пунктах а), б) и в) действительно тождественно равны $243b^8c^{11}$. Однако выражение в пункте г) равно $81b^8c^{11}$. Поскольку ученик пришел к выводу, что каждое из выражений равно $243b^8c^{11}$, а это неверно для последнего выражения, то его вывод является ошибочным.

Ответ: Нет, ученик не прав.