Номер 16, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 16, страница 89.

Условие.

16. Упростите выражение:

а) $15a^m b^2 \cdot (-a^3b)^4 = ..........$

б) $-a^6 b^{2n} \cdot (-a^8 b^n)^2 = ..........$

в) $-a^9 b^{2n+4} \cdot (-a^2 b^3)^n = ..........$

г) $a^n b^9 \cdot (-a^n b^6)^6 = ..........$

Решение.

Решение 2.

а) $15a^m b^2 \cdot (-a^3 b)^4$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать следующие свойства степеней: возведение произведения в степень $(xy)^k = x^k y^k$, возведение степени в степень $(x^p)^k = x^{pk}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $x^p \cdot x^k = x^{p+k}$.

Сначала раскроем скобки во втором множителе. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезнет:
$(-a^3 b)^4 = (-1)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot b^4 = 1 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^4 = a^{12}b^4$.

Теперь умножим полученное выражение на первый множитель, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:
$15a^m b^2 \cdot a^{12}b^4 = 15 \cdot (a^m \cdot a^{12}) \cdot (b^2 \cdot b^4)$.

Применяя правило умножения степеней, складываем их показатели:
$15a^{m+12}b^{2+4} = 15a^{m+12}b^6$.

Ответ: $15a^{m+12}b^6$.

б) $-a^6 b^{2n} \cdot (-a^8 b^n)^2$

Сначала упростим второй множитель, возведя его в квадрат. Так как степень 2 четная, знак минус исчезает:
$(-a^8 b^n)^2 = (-1)^2 \cdot (a^8)^2 \cdot (b^n)^2 = 1 \cdot a^{8 \cdot 2} \cdot b^{n \cdot 2} = a^{16}b^{2n}$.

Теперь выполним умножение одночленов:
$-a^6 b^{2n} \cdot a^{16}b^{2n} = -1 \cdot (a^6 \cdot a^{16}) \cdot (b^{2n} \cdot b^{2n})$.

Сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:
$-a^{6+16}b^{2n+2n} = -a^{22}b^{4n}$.

Ответ: $-a^{22}b^{4n}$.

в) $-a^9 b^{2n+4} \cdot (-a^2 b^3)^n$

Упростим второй множитель. В этом случае знак результата зависит от четности показателя $n$:
$(-a^2 b^3)^n = (-1)^n \cdot (a^2)^n \cdot (b^3)^n = (-1)^n a^{2n} b^{3n}$.

Теперь перемножим одночлены:
$-a^9 b^{2n+4} \cdot ((-1)^n a^{2n} b^{3n}) = (-1) \cdot (-1)^n \cdot (a^9 \cdot a^{2n}) \cdot (b^{2n+4} \cdot b^{3n})$.

Объединим числовые коэффициенты и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:
$(-1)^{1+n} \cdot a^{9+2n} \cdot b^{(2n+4)+3n} = (-1)^{n+1}a^{2n+9}b^{5n+4}$.

Ответ: $(-1)^{n+1}a^{2n+9}b^{5n+4}$.

г) $a^n b^9 \cdot (-a^n b^6)^6$

Упростим второй множитель. Так как степень 6 является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезнет:
$(-a^n b^6)^6 = (-1)^6 \cdot (a^n)^6 \cdot (b^6)^6 = 1 \cdot a^{n \cdot 6} \cdot b^{6 \cdot 6} = a^{6n}b^{36}$.

Теперь выполним умножение, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:
$a^n b^9 \cdot a^{6n}b^{36} = (a^n \cdot a^{6n}) \cdot (b^9 \cdot b^{36})$.

Сложим показатели степеней:
$a^{n+6n}b^{9+36} = a^{7n}b^{45}$.

Ответ: $a^{7n}b^{45}$.