Номер 10, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 10, страница 87.

Условие.

10. Впишите недостающий одночлен так, чтобы полученное равенство было тождеством:

a) $(7a^3b^4)^2$ .................... $98a^{12}b^9$;

б) $(ab^4)^3$ .................... $36a^{11}b^{18}$.

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы найти недостающий одночлен, обозначим его за $X$. Тогда исходное равенство примет вид:
$(7a^3b^4)^2 \cdot X = 98a^{12}b^9$
Сначала упростим выражение в скобках, возведя его в квадрат, используя свойство степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(7a^3b^4)^2 = 7^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 49 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2} = 49a^6b^8$
Теперь наше равенство выглядит так:
$49a^6b^8 \cdot X = 98a^{12}b^9$
Чтобы найти $X$, разделим правую часть тождества на известный множитель из левой части:
$X = \frac{98a^{12}b^9}{49a^6b^8}$
Выполним деление, разделив отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):
$X = (\frac{98}{49}) \cdot (\frac{a^{12}}{a^6}) \cdot (\frac{b^9}{b^8}) = 2 \cdot a^{12-6} \cdot b^{9-8} = 2a^6b^1 = 2a^6b$
Таким образом, недостающий одночлен — это $2a^6b$.
Проверка: $(7a^3b^4)^2 \cdot (2a^6b) = (49a^6b^8) \cdot (2a^6b) = (49 \cdot 2) \cdot (a^6 \cdot a^6) \cdot (b^8 \cdot b) = 98a^{12}b^9$. Равенство верно.
Ответ: $2a^6b$

б)

Аналогично, обозначим недостающий одночлен за $Y$:
$(ab^4)^3 \cdot Y = 36a^{11}b^{18}$
Упростим первый множитель, возведя его в куб:
$(ab^4)^3 = a^3 \cdot (b^4)^3 = a^3 \cdot b^{4 \cdot 3} = a^3b^{12}$
Подставим полученное выражение в исходное равенство:
$a^3b^{12} \cdot Y = 36a^{11}b^{18}$
Выразим $Y$, разделив правую часть на левый множитель:
$Y = \frac{36a^{11}b^{18}}{a^3b^{12}}$
Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$Y = (\frac{36}{1}) \cdot (\frac{a^{11}}{a^3}) \cdot (\frac{b^{18}}{b^{12}}) = 36 \cdot a^{11-3} \cdot b^{18-12} = 36a^8b^6$
Недостающий одночлен — это $36a^8b^6$.
Проверка: $(ab^4)^3 \cdot (36a^8b^6) = (a^3b^{12}) \cdot (36a^8b^6) = 36 \cdot (a^3 \cdot a^8) \cdot (b^{12} \cdot b^6) = 36a^{11}b^{18}$. Равенство верно.
Ответ: $36a^8b^6$