Номер 12, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 12, страница 88.

Условие.

12. Представьте каким-либо способом одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения двух множителей, один из которых является:

а) квадратом некоторого одночлена с переменными a и b;

б) кубом некоторого одночлена с переменными a и b.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения двух множителей, один из которых является квадратом некоторого одночлена с переменными $a$ и $b$, необходимо выделить из исходного одночлена множитель, который представляет собой полный квадрат. Для этого разложим на множители каждый компонент одночлена (коэффициент и степени переменных).
Коэффициент: $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.
Для переменной $a$ выделим наибольшую степень, кратную двум: $a^9 = a^8 \cdot a = (a^4)^2 \cdot a$.
Степень переменной $b$ уже является четной: $b^8 = (b^4)^2$.
Теперь объединим все множители, являющиеся полными квадратами, в один сомножитель. Это будет квадрат одночлена $5a^4b^4$:
$(5a^4b^4)^2 = 5^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^4)^2 = 25a^8b^8$.
Второй множитель будет состоять из оставшихся частей: $3 \cdot a = 3a$.
Таким образом, искомое представление имеет вид: $75a^9b^8 = (25a^8b^8) \cdot (3a)$.
Ответ: $25a^8b^8 \cdot 3a$.

б) Чтобы представить одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения, где один из множителей является кубом некоторого одночлена с переменными $a$ и $b$, необходимо выделить из исходного одночлена множитель, который является полным кубом.
Для коэффициента $75$ наибольший целый кубический делитель — это $1$, поэтому $75 = 1 \cdot 75 = 1^3 \cdot 75$.
Степень переменной $a$ уже кратна трем: $a^9 = (a^3)^3$.
Для переменной $b$ выделим наибольшую степень, кратную трем: $b^8 = b^6 \cdot b^2 = (b^2)^3 \cdot b^2$.
Теперь объединим все множители, являющиеся полными кубами, в один сомножитель. Это будет куб одночлена $a^3b^2$:
$(a^3b^2)^3 = a^9b^6$.
Второй множитель будет состоять из оставшихся частей: $75 \cdot b^2 = 75b^2$.
Таким образом, искомое представление имеет вид: $75a^9b^8 = (a^9b^6) \cdot (75b^2)$.
Ответ: $a^9b^6 \cdot 75b^2$.