Номер 14, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 14, страница 88.

Условие.

14. Преобразуйте выражение:

$5a^{mb} \cdot (-3a^3b)^4 = 5a^{mb} \cdot 81a^{12}b^4 = 405a^{m+12}b^5$

а) $-ab^{2n} (-a^3b^4)^2 = \dots$

б) $-a^4b^{2n+1} (-ab^2)^n = \dots$

в) $a^{n+2}b^3 (-ab^4)^6 = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $-ab^{2n} (-a^3b^4)^2$

Для преобразования выражения необходимо последовательно выполнить действия. Сначала возведем в степень одночлен в скобках, используя свойство степени произведения $(xyz)^k = x^k y^k z^k$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{mk}$.

$(-a^3b^4)^2 = (-1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 1 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2} = a^6b^8$

Теперь умножим полученный результат на первый одночлен, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$-ab^{2n} \cdot a^6b^8 = -1 \cdot a^1 \cdot b^{2n} \cdot a^6 \cdot b^8 = -(a^1 \cdot a^6) \cdot (b^{2n} \cdot b^8) = -a^{1+6}b^{2n+8} = -a^7b^{2n+8}$

Ответ: $-a^7b^{2n+8}$

б) $-a^4b^{2n+1} (-ab^2)^n$

Сначала возведем в степень $n$ выражение в скобках.

$(-ab^2)^n = (-1)^n \cdot a^n \cdot (b^2)^n = (-1)^n a^n b^{2n}$

Теперь умножим полученное выражение на первый одночлен.

$-a^4b^{2n+1} \cdot ((-1)^n a^n b^{2n}) = -1 \cdot a^4 \cdot b^{2n+1} \cdot (-1)^n \cdot a^n \cdot b^{2n}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и числовые коэффициенты.

$(-1 \cdot (-1)^n) \cdot (a^4 \cdot a^n) \cdot (b^{2n+1} \cdot b^{2n}) = (-1)^{1+n} \cdot a^{4+n} \cdot b^{(2n+1)+2n} = (-1)^{n+1}a^{n+4}b^{4n+1}$

Ответ: $(-1)^{n+1}a^{n+4}b^{4n+1}$

в) $a^{n+2}b^3 (-ab^4)^6$

Сначала возведем в степень выражение в скобках. Так как степень 6 является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезнет, т.к. $(-1)^6 = 1$.

$(-ab^4)^6 = (-1)^6 \cdot a^6 \cdot (b^4)^6 = 1 \cdot a^6 \cdot b^{4 \cdot 6} = a^6b^{24}$

Теперь выполним умножение полученного результата на первый одночлен.

$a^{n+2}b^3 \cdot a^6b^{24} = (a^{n+2} \cdot a^6) \cdot (b^3 \cdot b^{24})$

Складываем показатели степеней у одинаковых оснований.

$a^{(n+2)+6} \cdot b^{3+24} = a^{n+8}b^{27}$

Ответ: $a^{n+8}b^{27}$