Номер 4, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 4, страница 86.

Условие.

4. Представьте выражение $64a^{24}b^{18}$ в виде степени тремя различными способами.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы представить выражение $64a^{24}b^{18}$ в виде степени, необходимо найти общие делители для показателей степеней всех множителей.

Сначала представим числовой коэффициент 64 в виде степени. Это можно сделать несколькими способами: $64 = 8^2$, $64 = 4^3$, $64 = 2^6$.

Исходное выражение состоит из множителей $64$, $a^{24}$ и $b^{18}$. Чтобы представить все выражение в виде одной степени $n$, показатель $n$ должен быть общим делителем для показателей степеней каждого множителя. Показатели степеней в выражении $2^6a^{24}b^{18}$ равны 6, 24 и 18.

Общими натуральными делителями чисел 6, 24 и 18 являются 2, 3 и 6. Используем их для нахождения трёх различных представлений в виде степени, применяя свойство $(x^p y^q z^r)^n = x^{pn}y^{qn}z^{rn}$.

Способ 1. Представление в виде второй степени (квадрата)

Чтобы представить выражение в виде квадрата, выносим за скобки степень 2. Для этого показатели степеней каждого множителя в исходном выражении нужно разделить на 2.
$64a^{24}b^{18} = (64^{1/2} \cdot a^{24/2} \cdot b^{18/2})^2$
Так как $64^{1/2} = \sqrt{64} = 8$, $a^{24/2} = a^{12}$ и $b^{18/2} = b^9$, получаем:
$(8a^{12}b^9)^2$
Ответ: $(8a^{12}b^9)^2$.

Способ 2. Представление в виде третьей степени (куба)

Чтобы представить выражение в виде куба, выносим за скобки степень 3. Для этого показатели степеней каждого множителя нужно разделить на 3.
$64a^{24}b^{18} = (64^{1/3} \cdot a^{24/3} \cdot b^{18/3})^3$
Так как $64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4$, $a^{24/3} = a^8$ и $b^{18/3} = b^6$, получаем:
$(4a^8b^6)^3$
Ответ: $(4a^8b^6)^3$.

Способ 3. Представление в виде шестой степени

Чтобы представить выражение в виде шестой степени, выносим за скобки степень 6. Для этого показатели степеней каждого множителя нужно разделить на 6.
$64a^{24}b^{18} = (64^{1/6} \cdot a^{24/6} \cdot b^{18/6})^6$
Так как $64^{1/6} = \sqrt[6]{64} = 2$, $a^{24/6} = a^4$ и $b^{18/6} = b^3$, получаем:
$(2a^4b^3)^6$
Ответ: $(2a^4b^3)^6$.