Страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Представьте каким-либо способом одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения двух множителей, один из которых является:

а) квадратом некоторого одночлена с переменными a и b;

б) кубом некоторого одночлена с переменными a и b.

а) Чтобы представить одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения двух множителей, один из которых является квадратом некоторого одночлена с переменными $a$ и $b$, необходимо выделить из исходного одночлена множитель, который представляет собой полный квадрат. Для этого разложим на множители каждый компонент одночлена (коэффициент и степени переменных).
Коэффициент: $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.
Для переменной $a$ выделим наибольшую степень, кратную двум: $a^9 = a^8 \cdot a = (a^4)^2 \cdot a$.
Степень переменной $b$ уже является четной: $b^8 = (b^4)^2$.
Теперь объединим все множители, являющиеся полными квадратами, в один сомножитель. Это будет квадрат одночлена $5a^4b^4$:
$(5a^4b^4)^2 = 5^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^4)^2 = 25a^8b^8$.
Второй множитель будет состоять из оставшихся частей: $3 \cdot a = 3a$.
Таким образом, искомое представление имеет вид: $75a^9b^8 = (25a^8b^8) \cdot (3a)$.
Ответ: $25a^8b^8 \cdot 3a$.

б) Чтобы представить одночлен $75a^9b^8$ в виде произведения, где один из множителей является кубом некоторого одночлена с переменными $a$ и $b$, необходимо выделить из исходного одночлена множитель, который является полным кубом.
Для коэффициента $75$ наибольший целый кубический делитель — это $1$, поэтому $75 = 1 \cdot 75 = 1^3 \cdot 75$.
Степень переменной $a$ уже кратна трем: $a^9 = (a^3)^3$.
Для переменной $b$ выделим наибольшую степень, кратную трем: $b^8 = b^6 \cdot b^2 = (b^2)^3 \cdot b^2$.
Теперь объединим все множители, являющиеся полными кубами, в один сомножитель. Это будет куб одночлена $a^3b^2$:
$(a^3b^2)^3 = a^9b^6$.
Второй множитель будет состоять из оставшихся частей: $75 \cdot b^2 = 75b^2$.
Таким образом, искомое представление имеет вид: $75a^9b^8 = (a^9b^6) \cdot (75b^2)$.
Ответ: $a^9b^6 \cdot 75b^2$.

13. Упростите выражение:

а) $ (-a \cdot (-a)^2)^3 = $

б) $ (-a^2 \cdot (-a^3))^2 = $

а) Для упрощения выражения $(-a \cdot (-a)^2)^3$ будем действовать по порядку, используя свойства степеней.

1. Сначала упростим выражение внутри самых внутренних скобок: $(-a)^2$.
Так как квадрат любого числа (или выражения) неотрицателен, получаем:
$(-a)^2 = a^2$

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(-a \cdot a^2)^3$

3. Теперь упростим выражение внутри скобок, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$-a \cdot a^2 = -a^1 \cdot a^2 = -a^{1+2} = -a^3$

4. Наконец, возведем полученное выражение в третью степень, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(-a^3)^3 = (-1)^3 \cdot (a^3)^3 = -1 \cdot a^{3 \cdot 3} = -a^9$

Ответ: $-a^9$

б) Для упрощения выражения $(-a^2 \cdot (-a^3))^2$ также выполним действия по шагам.

1. Сначала упростим выражение в скобках: $(-a^2 \cdot (-a^3))$.
Произведение двух отрицательных выражений дает положительное выражение:
$(-a^2) \cdot (-a^3) = a^2 \cdot a^3$

2. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$

3. Теперь исходное выражение имеет вид $(a^5)^2$. Возведем его в квадрат, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$

Ответ: $a^{10}$

14. Преобразуйте выражение:

$5a^{mb} \cdot (-3a^3b)^4 = 5a^{mb} \cdot 81a^{12}b^4 = 405a^{m+12}b^5$

а) $-ab^{2n} (-a^3b^4)^2 = \dots$

б) $-a^4b^{2n+1} (-ab^2)^n = \dots$

в) $a^{n+2}b^3 (-ab^4)^6 = \dots$

а) $-ab^{2n} (-a^3b^4)^2$

Для преобразования выражения необходимо последовательно выполнить действия. Сначала возведем в степень одночлен в скобках, используя свойство степени произведения $(xyz)^k = x^k y^k z^k$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{mk}$.

$(-a^3b^4)^2 = (-1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 1 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2} = a^6b^8$

Теперь умножим полученный результат на первый одночлен, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$-ab^{2n} \cdot a^6b^8 = -1 \cdot a^1 \cdot b^{2n} \cdot a^6 \cdot b^8 = -(a^1 \cdot a^6) \cdot (b^{2n} \cdot b^8) = -a^{1+6}b^{2n+8} = -a^7b^{2n+8}$

Ответ: $-a^7b^{2n+8}$

б) $-a^4b^{2n+1} (-ab^2)^n$

Сначала возведем в степень $n$ выражение в скобках.

$(-ab^2)^n = (-1)^n \cdot a^n \cdot (b^2)^n = (-1)^n a^n b^{2n}$

Теперь умножим полученное выражение на первый одночлен.

$-a^4b^{2n+1} \cdot ((-1)^n a^n b^{2n}) = -1 \cdot a^4 \cdot b^{2n+1} \cdot (-1)^n \cdot a^n \cdot b^{2n}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и числовые коэффициенты.

$(-1 \cdot (-1)^n) \cdot (a^4 \cdot a^n) \cdot (b^{2n+1} \cdot b^{2n}) = (-1)^{1+n} \cdot a^{4+n} \cdot b^{(2n+1)+2n} = (-1)^{n+1}a^{n+4}b^{4n+1}$

Ответ: $(-1)^{n+1}a^{n+4}b^{4n+1}$

в) $a^{n+2}b^3 (-ab^4)^6$

Сначала возведем в степень выражение в скобках. Так как степень 6 является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезнет, т.к. $(-1)^6 = 1$.

$(-ab^4)^6 = (-1)^6 \cdot a^6 \cdot (b^4)^6 = 1 \cdot a^6 \cdot b^{4 \cdot 6} = a^6b^{24}$

Теперь выполним умножение полученного результата на первый одночлен.

$a^{n+2}b^3 \cdot a^6b^{24} = (a^{n+2} \cdot a^6) \cdot (b^3 \cdot b^{24})$

Складываем показатели степеней у одинаковых оснований.

$a^{(n+2)+6} \cdot b^{3+24} = a^{n+8}b^{27}$

Ответ: $a^{n+8}b^{27}$

15. Представьте, если возможно, в виде одночлена выражение:

a) $ \frac{3x^7}{2x^4} = $

б) $ \frac{5p^7q}{p^8q^2} = $

в) $ \frac{12x^{15}}{36x^{12}} = $

г) $ \frac{11a^3b^8}{121ab^4} = $

Укажите, какие из данных выражений нельзя представить в виде одночлена:

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3x^7}{2x^4}$, необходимо разделить числовые коэффициенты и вычесть показатели степеней для одинаковых оснований переменных, согласно свойству $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{3x^7}{2x^4} = \frac{3}{2} \cdot x^{7-4} = 1.5x^3$

Полученное выражение $1.5x^3$ является одночленом, так как это произведение числа и переменной в натуральной степени.

Ответ: $1.5x^3$.

б) Упростим выражение $\frac{5p^7q}{p^8q^2}$, применяя то же свойство степеней.

$\frac{5p^7q}{p^8q^2} = 5 \cdot \frac{p^7}{p^8} \cdot \frac{q^1}{q^2} = 5 \cdot p^{7-8} \cdot q^{1-2} = 5p^{-1}q^{-1}$

Выражение с отрицательными степенями можно записать в виде дроби: $\frac{5}{pq}$.

По определению, одночлен не может содержать деления на переменные. Так как в полученном выражении есть деление на переменные $p$ и $q$, его нельзя представить в виде одночлена.

Ответ: нельзя представить в виде одночлена.

в) Упростим выражение $\frac{12x^{15}}{36x^{12}}$. Сначала сократим числовые коэффициенты, а затем упростим степени.

$\frac{12x^{15}}{36x^{12}} = \frac{12}{36} \cdot x^{15-12} = \frac{1}{3}x^3$

Полученное выражение $\frac{1}{3}x^3$ является одночленом.

Ответ: $\frac{1}{3}x^3$.

г) Упростим выражение $\frac{11a^3b^8}{121ab^4}$. Сократим коэффициенты и применим свойство степеней для каждой переменной.

$\frac{11a^3b^8}{121ab^4} = \frac{11}{121} \cdot \frac{a^3}{a^1} \cdot \frac{b^8}{b^4} = \frac{1}{11} \cdot a^{3-1} \cdot b^{8-4} = \frac{1}{11}a^2b^4$

Полученное выражение $\frac{1}{11}a^2b^4$ является одночленом.

Ответ: $\frac{1}{11}a^2b^4$.

Укажите, какие из данных выражений нельзя представить в виде одночлена:

Одночлен — это алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя на одну или несколько переменных, каждая из которых взята в какой-либо неотрицательной целой степени. Это означает, что в одночлене не должно быть операции деления на переменную.

При упрощении выражения б) $\frac{5p^7q}{p^8q^2}$ мы получили $\frac{5}{pq}$. Это выражение содержит деление на переменные $p$ и $q$, поэтому оно не является одночленом. Остальные выражения (а, в, г) были успешно представлены в виде одночленов.

Ответ: б).

4. Даны системы уравнений и решения этих систем. Укажите стрелочками, какой системе какое решение соответствует.

$$\begin{cases} 14x + 5y = 13 \\ x - 3y = 11 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 7x - 10y = 18 \\ -2x + 11y = 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -2x + 3y = 16 \\ 3x + 7y = -1 \end{cases}$$

$(-5; 2)$

$(2; -3)$

$(4; 1)$

Чтобы определить, какое решение соответствует каждой системе, решим каждую систему уравнений.

$\begin{cases} 14x+5y=13, \\ x-3y=11 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Сначала выразим переменную $x$ из второго уравнения:
$x = 11 + 3y$
Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$14(11 + 3y) + 5y = 13$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$154 + 42y + 5y = 13$
$47y = 13 - 154$
$47y = -141$
$y = \frac{-141}{47}$
$y = -3$
Теперь найдем значение $x$, подставив $y = -3$ в выражение для $x$:
$x = 11 + 3(-3)$
$x = 11 - 9$
$x = 2$
Решением системы является пара чисел $(2; -3)$.
Ответ: $(2; -3)$

$\begin{cases} 7x-10y=18, \\ -2x+11y=3 \end{cases}$

Эту систему решим методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе — на 7, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:
$\begin{cases} 2 \cdot (7x-10y) = 2 \cdot 18 \\ 7 \cdot (-2x+11y) = 7 \cdot 3 \end{cases}$
$\begin{cases} 14x - 20y = 36 \\ -14x + 77y = 21 \end{cases}$
Теперь сложим почленно оба уравнения:
$(14x - 20y) + (-14x + 77y) = 36 + 21$
$57y = 57$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y=1$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$7x - 10(1) = 18$
$7x - 10 = 18$
$7x = 28$
$x = \frac{28}{7}$
$x = 4$
Решением системы является пара чисел $(4; 1)$.
Ответ: $(4; 1)$

$\begin{cases} -2x+3y=16, \\ 3x+7y=-1 \end{cases}$

Эту систему также решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2:
$\begin{cases} 3 \cdot (-2x+3y) = 3 \cdot 16 \\ 2 \cdot (3x+7y) = 2 \cdot (-1) \end{cases}$
$\begin{cases} -6x + 9y = 48 \\ 6x + 14y = -2 \end{cases}$
Сложим полученные уравнения:
$(-6x + 9y) + (6x + 14y) = 48 - 2$
$23y = 46$
$y = \frac{46}{23}$
$y = 2$
Подставим значение $y=2$ в первое исходное уравнение:
$-2x + 3(2) = 16$
$-2x + 6 = 16$
$-2x = 10$
$x = \frac{10}{-2}$
$x = -5$
Решением системы является пара чисел $(-5; 2)$.
Ответ: $(-5; 2)$

5. Найдите решение системы уравнений:

$\begin{cases} x - 8y = 21 \\ 3x + 4y = 7 \end{cases}$ $x = 21 + 8y;$
$3 \cdot (21 + 8y) + 4y = 7; 63 + 24y + 4y = 7; 28y = 7 - 63 = -56; y = -2.$
$x = 21 + 8 \cdot (-2); x = 21 - 16; x = 5.$
Ответ: $x = 5, y = -2.$

a) $\begin{cases} x - 3y = -2 \\ 2x + 3y = 14 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + y = 3 \\ -3x - 4y = 5 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 3y = -2 \\ 2x + 3y = 14 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях являются противоположными числами ($-3$ и $3$). Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - 3y) + (2x + 3y) = -2 + 14$

Приводим подобные слагаемые:

$x + 2x - 3y + 3y = 12$

$3x = 12$

Находим значение $x$:

$x = \frac{12}{3} = 4$

Теперь подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$4 - 3y = -2$

$-3y = -2 - 4$

$-3y = -6$

Находим значение $y$:

$y = \frac{-6}{-3} = 2$

Проверим правильность решения, подставив найденные значения $x=4$ и $y=2$ во второе уравнение системы:

$2(4) + 3(2) = 8 + 6 = 14$

$14 = 14$. Равенство верное, значит, система решена правильно.

Ответ: $x=4$, $y=2$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x + y = 3 \\ -3x - 4y = 5 \end{cases} $

Эту систему удобно решать методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:

$y = 3 - 5x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$-3x - 4(3 - 5x) = 5$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$-3x - 12 + 20x = 5$

$17x - 12 = 5$

$17x = 5 + 12$

$17x = 17$

$x = \frac{17}{17} = 1$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x=1$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 5x = 3 - 5(1) = 3 - 5 = -2$

Проверим правильность решения, подставив найденные значения $x=1$ и $y=-2$ в оба исходных уравнения:

Первое уравнение: $5(1) + (-2) = 5 - 2 = 3$. $3=3$. Верно.

Второе уравнение: $-3(1) - 4(-2) = -3 + 8 = 5$. $5=5$. Верно.

Ответ: $x=1$, $y=-2$.