Страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Известно, что точка $F(b; c)$, где $b \ne 0$, $c \ne 0$, принадлежит графику функции $y=x^3$. Из точек $A(b; -c)$, $B(-b; c)$, $D(-b; -c)$ выберите те, которые также принадлежат графику этой функции.

Ответ:

По условию, точка $F(b; c)$ принадлежит графику функции $y = x^3$. Это значит, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Подставив $x=b$ и $y=c$ в уравнение, получаем верное равенство:

$c = b^3$

Это основное соотношение мы будем использовать для проверки принадлежности графику других точек, при этом помня, что по условию $b \neq 0$ и $c \neq 0$. Проверим каждую из предложенных точек.

A(b; –c)

Чтобы точка A принадлежала графику функции $y = x^3$, ее координаты $x=b$ и $y=-c$ должны удовлетворять этому уравнению. Выполним подстановку:

$-c = b^3$

Используя наше основное соотношение $c = b^3$, заменим $c$ в левой части равенства:

$-(b^3) = b^3$, что эквивалентно $-b^3 = b^3$.

Это равенство справедливо только в том случае, если $b^3 = 0$, то есть при $b=0$. Однако, по условию задачи $b \neq 0$. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

B(–b; c)

Проверим точку B с координатами $x=-b$ и $y=c$. Подставим их в уравнение $y = x^3$:

$c = (-b)^3$

Так как $(-b)^3 = -b^3$, получаем:

$c = -b^3$

Сравнивая это с основным соотношением $c = b^3$, мы приходим к равенству $b^3 = -b^3$. Это равенство также справедливо только при $b=0$, что противоречит условию задачи. Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

D(–b; –c)

Проверим точку D с координатами $x=-b$ и $y=-c$. Подставим их в уравнение $y = x^3$:

$-c = (-b)^3$

Упростим правую часть равенства: $-c = -b^3$. Домножив обе части на $-1$, получаем:

$c = b^3$

Это равенство в точности совпадает с основным соотношением, которое мы получили из условия принадлежности точки F графику. Оно верно для любых $b$ и $c$, удовлетворяющих начальному условию. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

13. Используя график функции $y=x^2$ (рис. 12), решите уравнение:

а) $x^2 = x + 2$; б) $x^2 + x + 1 = 0$.

Ответ: а)

б) Рис. 12

а) $x^2 = x + 2$

Для того чтобы решить уравнение $x^2 = x + 2$ графически, необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ и $y = x + 2$. График функции $y = x^2$ (парабола) уже представлен на рисунке.

Построим график второй функции $y = x + 2$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно найти две точки:
- при $x=0$, $y = 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
- при $x=-1$, $y = -1 + 2 = 1$. Получаем точку $(-1; 1)$.

Нанеся эти точки на координатную плоскость и проведя через них прямую, мы увидим, что она пересекается с параболой $y = x^2$ в двух точках. По графику определяем координаты этих точек пересечения: $(-1; 1)$ и $(2; 4)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-1; 2$.

б) $x^2 + x + 1 = 0$

Чтобы использовать данный график, преобразуем уравнение, выразив $x^2$:
$x^2 = -x - 1$.

Теперь задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = -x - 1$.

Построим прямую $y = -x - 1$. Найдем для нее две точки:
- при $x=0$, $y = -0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0; -1)$.
- при $x=-1$, $y = -(-1) - 1 = 0$. Получаем точку $(-1; 0)$.

Построив эту прямую на той же координатной плоскости, мы видим, что она не пересекается с параболой $y = x^2$. Прямая проходит ниже параболы на всей ее протяженности.

Так как графики функций не имеют общих точек, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

14. Используя график функции $y = x^3$ (рис. 13), решите уравнение:

а) $x^3 = -x + 2;$

б) $x^3 + x + 1 = 0.$

Рис. 13

Для решения уравнений графическим методом, мы представим каждое уравнение в виде равенства двух функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = g(x)$. Решением будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков. График функции $y_1 = x^3$ уже представлен на рисунке.

а) $x^3 = -x + 2$

Данное уравнение уже представлено в виде равенства двух функций: $y = x^3$ и $y = -x + 2$. Нам нужно построить график линейной функции (прямую) $y = -x + 2$ и найти его точку пересечения с уже построенным графиком $y = x^3$. Для построения прямой $y = -x + 2$ найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
• Если $x=2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Проведя прямую через эти две точки на координатной плоскости, мы видим, что она пересекает график функции $y=x^3$ в одной точке. Координаты этой точки — $(1; 1)$. Абсцисса этой точки $x=1$ является решением уравнения.
Проверка: $1^3 = -1 + 2 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.
Ответ: $x = 1$.

б) $x^3 + x + 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $x^3$: $x^3 = -x - 1$. Теперь нам нужно найти точку пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = -x - 1$. Построим прямую $y = -x - 1$. Для этого найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = -0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• Если $x=-1$, то $y = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(-1; 0)$.

Проведя прямую через эти две точки на том же чертеже, мы видим, что она пересекает график $y=x^3$ в одной точке. Эта точка лежит в третьей четверти. Абсцисса этой точки не является целым числом. Из графика видно, что она находится между $-0,6$ и $-0,7$. Примем приблизительное значение.
Ответ: $x \approx -0,7$.

15. Решите систему уравнений

$\begin{cases} (2x-1)^2 - (2x+3)^2 = 10y, \\ (y+2)^2 - (y-4)^2 = -30x. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений мы упростим каждое уравнение по отдельности, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Упростим первое уравнение: $(2x-1)^2 - (2x+3)^2 = 10y$
Применим формулу разности квадратов, где $a = 2x-1$ и $b = 2x+3$:
$((2x-1) - (2x+3)) \cdot ((2x-1) + (2x+3)) = 10y$
Раскроем скобки внутри скобок:
$(2x-1-2x-3) \cdot (2x-1+2x+3) = 10y$
Выполним действия в каждой скобке:
$(-4) \cdot (4x+2) = 10y$
$-16x - 8 = 10y$
Разделим обе части уравнения на 2:
$-8x - 4 = 5y$

Упростим второе уравнение: $(y+2)^2 - (y-4)^2 = -30x$
Аналогично применим формулу разности квадратов, где $a = y+2$ и $b = y-4$:
$((y+2) - (y-4)) \cdot ((y+2) + (y-4)) = -30x$
Раскроем скобки внутри скобок:
$(y+2-y+4) \cdot (y+2+y-4) = -30x$
Выполним действия в каждой скобке:
$6 \cdot (2y-2) = -30x$
$12y - 12 = -30x$
Разделим обе части уравнения на 6:
$2y - 2 = -5x$

Решим полученную систему линейных уравнений
В результате упрощений мы получили следующую систему: $$ \begin{cases} -8x - 4 = 5y \\ 2y - 2 = -5x \end{cases} $$ Приведем систему к стандартному виду, перенеся переменные в левую часть, а константы — в правую: $$ \begin{cases} 8x + 5y = -4 \\ 5x + 2y = 2 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 2(8x + 5y) = 2(-4) \\ -5(5x + 2y) = -5(2) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 16x + 10y = -8 \\ -25x - 10y = -10 \end{cases} $$ Теперь сложим эти два уравнения:
$(16x + 10y) + (-25x - 10y) = -8 + (-10)$
$16x - 25x = -18$
$-9x = -18$
$x = \frac{-18}{-9}$
$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в уравнение $5x + 2y = 2$, чтобы найти $y$:
$5(2) + 2y = 2$
$10 + 2y = 2$
$2y = 2 - 10$
$2y = -8$
$y = \frac{-8}{2}$
$y = -4$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; -4)$.

Ответ: $(2; -4)$

1. Запишите уравнения, которые получатся, если обе части уравнения $2x - 7y = 11$ умножить на: а) $-2$; б) $4$.

а) ..................

б) ..................

а) Для того чтобы умножить обе части уравнения $2x - 7y = 11$ на $-2$, необходимо каждый член этого уравнения умножить на $-2$.
Умножим левую часть:
$(-2) \cdot (2x - 7y) = (-2) \cdot 2x + (-2) \cdot (-7y) = -4x + 14y$.
Умножим правую часть:
$(-2) \cdot 11 = -22$.
В результате получаем новое уравнение: $-4x + 14y = -22$.
Ответ: $-4x + 14y = -22$.

б) Для того чтобы умножить обе части уравнения $2x - 7y = 11$ на $4$, необходимо каждый член этого уравнения умножить на $4$.
Умножим левую часть:
$4 \cdot (2x - 7y) = 4 \cdot 2x - 4 \cdot 7y = 8x - 28y$.
Умножим правую часть:
$4 \cdot 11 = 44$.
В результате получаем новое уравнение: $8x - 28y = 44$.
Ответ: $8x - 28y = 44$.