Страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

16. Упростите выражение:

а) $15a^m b^2 \cdot (-a^3b)^4 = ..........$

б) $-a^6 b^{2n} \cdot (-a^8 b^n)^2 = ..........$

в) $-a^9 b^{2n+4} \cdot (-a^2 b^3)^n = ..........$

г) $a^n b^9 \cdot (-a^n b^6)^6 = ..........$

а) $15a^m b^2 \cdot (-a^3 b)^4$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать следующие свойства степеней: возведение произведения в степень $(xy)^k = x^k y^k$, возведение степени в степень $(x^p)^k = x^{pk}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $x^p \cdot x^k = x^{p+k}$.

Сначала раскроем скобки во втором множителе. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезнет:
$(-a^3 b)^4 = (-1)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot b^4 = 1 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^4 = a^{12}b^4$.

Теперь умножим полученное выражение на первый множитель, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:
$15a^m b^2 \cdot a^{12}b^4 = 15 \cdot (a^m \cdot a^{12}) \cdot (b^2 \cdot b^4)$.

Применяя правило умножения степеней, складываем их показатели:
$15a^{m+12}b^{2+4} = 15a^{m+12}b^6$.

Ответ: $15a^{m+12}b^6$.

б) $-a^6 b^{2n} \cdot (-a^8 b^n)^2$

Сначала упростим второй множитель, возведя его в квадрат. Так как степень 2 четная, знак минус исчезает:
$(-a^8 b^n)^2 = (-1)^2 \cdot (a^8)^2 \cdot (b^n)^2 = 1 \cdot a^{8 \cdot 2} \cdot b^{n \cdot 2} = a^{16}b^{2n}$.

Теперь выполним умножение одночленов:
$-a^6 b^{2n} \cdot a^{16}b^{2n} = -1 \cdot (a^6 \cdot a^{16}) \cdot (b^{2n} \cdot b^{2n})$.

Сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:
$-a^{6+16}b^{2n+2n} = -a^{22}b^{4n}$.

Ответ: $-a^{22}b^{4n}$.

в) $-a^9 b^{2n+4} \cdot (-a^2 b^3)^n$

Упростим второй множитель. В этом случае знак результата зависит от четности показателя $n$:
$(-a^2 b^3)^n = (-1)^n \cdot (a^2)^n \cdot (b^3)^n = (-1)^n a^{2n} b^{3n}$.

Теперь перемножим одночлены:
$-a^9 b^{2n+4} \cdot ((-1)^n a^{2n} b^{3n}) = (-1) \cdot (-1)^n \cdot (a^9 \cdot a^{2n}) \cdot (b^{2n+4} \cdot b^{3n})$.

Объединим числовые коэффициенты и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:
$(-1)^{1+n} \cdot a^{9+2n} \cdot b^{(2n+4)+3n} = (-1)^{n+1}a^{2n+9}b^{5n+4}$.

Ответ: $(-1)^{n+1}a^{2n+9}b^{5n+4}$.

г) $a^n b^9 \cdot (-a^n b^6)^6$

Упростим второй множитель. Так как степень 6 является четным числом, знак минус при возведении в степень исчезнет:
$(-a^n b^6)^6 = (-1)^6 \cdot (a^n)^6 \cdot (b^6)^6 = 1 \cdot a^{n \cdot 6} \cdot b^{6 \cdot 6} = a^{6n}b^{36}$.

Теперь выполним умножение, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:
$a^n b^9 \cdot a^{6n}b^{36} = (a^n \cdot a^{6n}) \cdot (b^9 \cdot b^{36})$.

Сложим показатели степеней:
$a^{n+6n}b^{9+36} = a^{7n}b^{45}$.

Ответ: $a^{7n}b^{45}$.

17. Выполните умножение:

а) $(-3,6x^m y^n) \cdot (4x^{m+2}y^{n+1}) =$

б) $(-0,01a^{m+1}b^n) \cdot (-0,2a^m b^{2n}) =$

в) $\left( -\frac{1}{3} p^m q \right) \cdot ( -81 p^{m+1}q^n ) =$

г) $(-0,12a^{5m}b^{m+2}) \cdot (-0,1a^m b^{m-2}) =$

а) Для выполнения умножения одночленов $(-3,6x^my^n)$ и $(4x^{m+2}y^{n+1})$ необходимо перемножить их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

1. Умножим числовые коэффициенты: $-3,6 \cdot 4 = -14,4$.

2. Умножим степени с основанием $x$: $x^m \cdot x^{m+2} = x^{m+(m+2)} = x^{2m+2}$.

3. Умножим степени с основанием $y$: $y^n \cdot y^{n+1} = y^{n+(n+1)} = y^{2n+1}$.

4. Объединим полученные результаты: $(-3,6x^my^n) \cdot (4x^{m+2}y^{n+1}) = -14,4x^{2m+2}y^{2n+1}$.

Ответ: $-14,4x^{2m+2}y^{2n+1}$

б) Для выполнения умножения одночленов $(-0,01a^{m+1}b^n)$ и $(-0,2a^mb^{2n})$ перемножим их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

1. Умножим числовые коэффициенты: $-0,01 \cdot (-0,2) = 0,002$.

2. Умножим степени с основанием $a$: $a^{m+1} \cdot a^m = a^{(m+1)+m} = a^{2m+1}$.

3. Умножим степени с основанием $b$: $b^n \cdot b^{2n} = b^{n+2n} = b^{3n}$.

4. Объединим полученные результаты: $(-0,01a^{m+1}b^n) \cdot (-0,2a^mb^{2n}) = 0,002a^{2m+1}b^{3n}$.

Ответ: $0,002a^{2m+1}b^{3n}$

в) Для выполнения умножения одночленов $(-\frac{1}{3}p^mq)$ и $(-81p^{m+1}q^n)$ перемножим их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Учтем, что $q$ можно записать как $q^1$.

1. Умножим числовые коэффициенты: $-\frac{1}{3} \cdot (-81) = \frac{81}{3} = 27$.

2. Умножим степени с основанием $p$: $p^m \cdot p^{m+1} = p^{m+(m+1)} = p^{2m+1}$.

3. Умножим степени с основанием $q$: $q^1 \cdot q^n = q^{1+n} = q^{n+1}$.

4. Объединим полученные результаты: $(-\frac{1}{3}p^mq) \cdot (-81p^{m+1}q^n) = 27p^{2m+1}q^{n+1}$.

Ответ: $27p^{2m+1}q^{n+1}$

г) Для выполнения умножения одночленов $(-0,12a^{5m}b^{m+2})$ и $(-0,1a^mb^{m-2})$ перемножим их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

1. Умножим числовые коэффициенты: $-0,12 \cdot (-0,1) = 0,012$.

2. Умножим степени с основанием $a$: $a^{5m} \cdot a^m = a^{5m+m} = a^{6m}$.

3. Умножим степени с основанием $b$: $b^{m+2} \cdot b^{m-2} = b^{(m+2)+(m-2)} = b^{m+2+m-2} = b^{2m}$.

4. Объединим полученные результаты: $(-0,12a^{5m}b^{m+2}) \cdot (-0,1a^mb^{m-2}) = 0,012a^{6m}b^{2m}$.

Ответ: $0,012a^{6m}b^{2m}$

1. Заполните таблицу значений функции $y = x^2$:

Рис. 8

Рис. 9

Отметьте на координатной плоскости (рис. 8) точки, координаты которых занесены в таблицу, и постройте график функции.

Заполните таблицу значений функции $y = x^2$.

Для заполнения таблицы необходимо для каждого значения $x$ вычислить соответствующее значение $y$ по формуле $y = x^2$.

• При $x = -2,5$: $y = (-2,5)^2 = 6,25$
• При $x = -2$: $y = (-2)^2 = 4$
• При $x = -1,5$: $y = (-1,5)^2 = 2,25$
• При $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$
• При $x = 0$: $y = 0^2 = 0$
• При $x = 1$: $y = 1^2 = 1$
• При $x = 1,5$: $y = (1,5)^2 = 2,25$
• При $x = 2$: $y = 2^2 = 4$
• При $x = 2,5$: $y = (2,5)^2 = 6,25$

Ответ:

Заполненная таблица значений:

Отметьте на координатной плоскости (рис. 8) точки, координаты которых занесены в таблицу, и постройте график функции.

На координатной плоскости, представленной на рисунке 8, необходимо отметить точки, координаты которых были вычислены и занесены в таблицу:

$(-2,5; 6,25)$, $(-2; 4)$, $(-1,5; 2,25)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(1,5; 2,25)$, $(2; 4)$, $(2,5; 6,25)$.

Каждая точка $(x, y)$ отмечается на плоскости. Например, для точки $(-2; 4)$ нужно от начала координат отступить на 2 единицы влево по оси $x$ и на 4 единицы вверх по оси $y$. Аналогично отмечаются все остальные точки.

После нанесения всех точек на плоскость, их соединяют плавной линией. В результате получается график функции $y = x^2$, который является параболой.

Ответ:

Построенный график полностью совпадает с графиком на рисунке 9. Это парабола, симметричная относительно оси ординат ($y$), с вершиной в начале координат — точке $(0; 0)$, ветви которой направлены вверх.

6. Закончите решение системы уравнений:

a) $\begin{cases} y - 4x = 9, \\ 2y - 3x = 13; \end{cases}$ $y = 9 + 4x;$ $2(9 + 4x) - 3x = 13;$

б) $\begin{cases} x + 7y = 10, \\ 4x + 5y = -6; \end{cases}$ $x = 10 - 7y;$ $4(10 - 7y) + 5y = -6;$

а) Продолжим решение с уравнения, полученного после подстановки $y$ во второе уравнение системы:

$2(9 + 4x) - 3x = 13$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$18 + 8x - 3x = 13$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с $x$):

$18 + 5x = 13$

Перенесем 18 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5x = 13 - 18$

$5x = -5$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{-5}{5}$

$x = -1$

Мы нашли значение $x$. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 9 + 4x$:

$y = 9 + 4(-1)$

$y = 9 - 4$

$y = 5$

Решение системы — пара чисел $(x; y)$.

Ответ: $(-1; 5)$

б) Продолжим решение с уравнения, полученного после подстановки $x$ во второе уравнение системы:

$4(10 - 7y) + 5y = -6$

Раскроем скобки в левой части:

$40 - 28y + 5y = -6$

Приведем подобные слагаемые (члены с $y$):

$40 - 23y = -6$

Перенесем 40 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$-23y = -6 - 40$

$-23y = -46$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на -23:

$y = \frac{-46}{-23}$

$y = 2$

Мы нашли значение $y$. Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 10 - 7y$:

$x = 10 - 7(2)$

$x = 10 - 14$

$x = -4$

Решение системы — пара чисел $(x; y)$.

Ответ: $(-4; 2)$

7. Решите систему уравнений методом подстановки:

а) $ \begin{cases} 3a - 2b = 12, \\ 2a - 5b = 19; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4a + 5b = 6, \\ -2a + 3b = 8. \end{cases} $

a) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3a - 2b = 12 \\ 2a - 5b = 19 \end{cases}$

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение.

1. Выразим переменную $a$ из первого уравнения $3a - 2b = 12$:

$3a = 12 + 2b$

$a = \frac{12 + 2b}{3}$

2. Подставим полученное выражение для $a$ во второе уравнение системы $2a - 5b = 19$:

$2\left(\frac{12 + 2b}{3}\right) - 5b = 19$

3. Решим полученное уравнение относительно $b$. Для удобства умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3 \cdot 2\left(\frac{12 + 2b}{3}\right) - 3 \cdot 5b = 3 \cdot 19$

$2(12 + 2b) - 15b = 57$

Раскроем скобки:

$24 + 4b - 15b = 57$

Приведем подобные слагаемые:

$24 - 11b = 57$

$-11b = 57 - 24$

$-11b = 33$

$b = \frac{33}{-11}$

$b = -3$

4. Теперь, когда мы нашли значение $b$, подставим его в выражение для $a$, которое мы получили в шаге 1:

$a = \frac{12 + 2b}{3} = \frac{12 + 2(-3)}{3}$

$a = \frac{12 - 6}{3}$

$a = \frac{6}{3}$

$a = 2$

Таким образом, решение системы: $a=2, b=-3$.

Ответ: $a=2, b=-3$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 4a + 5b = 6 \\ -2a + 3b = 8 \end{cases}$

1. Выразим одну из переменных. Удобнее всего выразить $a$ из второго уравнения $-2a + 3b = 8$, так как коэффициент при $a$ (-2) является делителем коэффициента при $a$ в первом уравнении (4).

$-2a = 8 - 3b$

Умножим на -1 для удобства:

$2a = -8 + 3b$ или $2a = 3b - 8$

$a = \frac{3b - 8}{2}$

2. Подставим полученное выражение для $a$ в первое уравнение системы $4a + 5b = 6$:

$4\left(\frac{3b - 8}{2}\right) + 5b = 6$

3. Решим полученное уравнение относительно $b$. Сократим 4 и 2 в первом слагаемом:

$2(3b - 8) + 5b = 6$

Раскроем скобки:

$6b - 16 + 5b = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$11b - 16 = 6$

$11b = 6 + 16$

$11b = 22$

$b = \frac{22}{11}$

$b = 2$

4. Теперь подставим найденное значение $b=2$ в выражение для $a$:

$a = \frac{3b - 8}{2} = \frac{3(2) - 8}{2}$

$a = \frac{6 - 8}{2}$

$a = \frac{-2}{2}$

$a = -1$

Таким образом, решение системы: $a=-1, b=2$.

Ответ: $a=-1, b=2$.