Номер 16, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

21. Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 16, страница 95.

Условие.

16. Сколько общих точек имеют графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$, построенные в одной системе координат? Выберите верный от-вет.

1. Ни одной

2. Одну

3. Две

4. Три

Решение 2.

Чтобы найти количество общих точек графиков функций $y=x^2$ и $y=x^3$, необходимо найти количество действительных решений системы уравнений:

$ \begin{cases} y=x^2 \\ y=x^3 \end{cases} $

Поскольку в точках пересечения координаты $(x, y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям, мы можем приравнять их правые части:

$x^2 = x^3$

Для решения этого уравнения перенесем все его члены в одну сторону:

$x^3 - x^2 = 0$

Теперь вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $x^2 = 0$, что означает $x_1 = 0$.

2. $x - 1 = 0$, что означает $x_2 = 1$.

Мы получили два различных значения абсциссы ($x$), при которых графики пересекаются. Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение ординаты ($y$), подставив его в любое из исходных уравнений.

• Для $x_1 = 0$:
  $y_1 = 0^2 = 0$.
  Первая общая точка имеет координаты $(0, 0)$.

• Для $x_2 = 1$:
  $y_2 = 1^2 = 1$.
  Вторая общая точка имеет координаты $(1, 1)$.

Таким образом, графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$ имеют ровно две общие точки. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует номеру 3.

Ответ: 3. Две