Номер 17, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

21. Функции y=x^2 и y=x^3 и их графики. Глава ІІІ. Степень с натуральным показателем. Часть 1 - номер 17, страница 95.

Условие.

17. На рисунке построен график функции $y = x^2$ и прямые AB, CD, EF. Какие из этих прямых:

а) не пересекают график;

б) пересекают график в одной точке;

в) пересекают график в двух точках?

Ответ: а) .........................

б) .........................

в) .........................

Решение 2.

Для решения задачи проанализируем взаимное расположение графика функции (параболы) $y = x^2$ и каждой из заданных прямых: AB, CD и EF.

График функции $y=x^2$ – это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на параболе ее координата $y$ всегда неотрицательна, то есть $y \ge 0$.

а) не пересекают график;

Прямая не пересекает график, если у них нет ни одной общей точки. Рассмотрим прямую EF. Эта прямая является горизонтальной и расположена ниже оси абсцисс (оси $x$). Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ – отрицательное число ($c < 0$).

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = c \end{cases} $

Подставив значение $y$ из второго уравнения в первое, получаем $x^2 = c$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$), а по условию $c < 0$, это уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, прямая EF не имеет общих точек с параболой.

Ответ: EF.

б) пересекают график в одной точке;

Прямая пересекает график в одной точке, если система уравнений, описывающая их положение, имеет ровно одно решение. Рассмотрим прямую CD. Это вертикальная прямая, уравнение которой имеет вид $x=k$, где $k$ – некоторая константа (из рисунка видно, что $k$ – отрицательное число).

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ x = k \end{cases} $

Подставив значение $x$ из второго уравнения в первое, получаем $y = k^2$. Так как для любого заданного $k$ значение $y=k^2$ является единственным, система имеет одно решение: $(k, k^2)$. Таким образом, прямая CD пересекает параболу $y=x^2$ ровно в одной точке.

Ответ: CD.

в) пересекают график в двух точках?

Прямая пересекает график в двух точках, если соответствующая система уравнений имеет два различных решения. Рассмотрим прямую AB. Это горизонтальная прямая, расположенная выше оси абсцисс. Ее уравнение имеет вид $y=c$, где $c$ – положительное число ($c > 0$).

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = c \end{cases} $

Подстановка приводит к уравнению $x^2 = c$. Поскольку $c > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \sqrt{c}$ и $x_2 = -\sqrt{c}$. Это означает, что прямая AB пересекает параболу в двух точках: $(-\sqrt{c}, c)$ и $(\sqrt{c}, c)$.

Ответ: AB.