Номер 362, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Подготовка к ОГЭ. Задачи на смеси и сплавы. Дополнения. Часть 2 - номер 362, страница 77.

Условие.

362. ОГЭ. Имеется два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Пусть в первом сосуде содержится $x$ кг кислоты, а во втором — $y$ кг кислоты. Тогда общее количество кислоты равно $(x + y)$ кг, или $0,42 \cdot (48 + 42)$ кг.

Составим первое уравнение:

Увеличим массы растворов в сосудах: в первом — в 7 раз, во втором — в 8 раз. При этом массы растворов станут равными 336 кг, а общая масса растворов составит 672 кг. В первом сосуде станет $7x$ кг кислоты, а во втором $8y$ кг кислоты.

Тогда общее количество кислоты равно $(7x + 8y)$ кг, или $0,40 \cdot 672$ кг.

Составим второе уравнение:

Решим систему двух уравнений:

Решение.

Решение 2.

Пусть в первом сосуде содержится x кг кислоты, а во втором — y кг кислоты. Тогда общее количество кислоты равно (x + y) кг, или 0,42 ⋅ (48 + 42) кг.

Составим первое уравнение:
Согласно первому условию, при смешивании всего содержимого двух сосудов получается раствор с концентрацией $42\%$. Общая масса раствора равна $48 \text{ кг} + 42 \text{ кг} = 90 \text{ кг}$. Масса чистой кислоты в этом растворе составляет $0,42 \cdot 90 = 37,8$ кг. Так как $x$ и $y$ — это массы кислоты в первом и втором растворах соответственно, их сумма равна общей массе кислоты в смеси.
$x + y = 37,8$

Увеличим массы растворов в сосудах: в первом — в 7 раз, во втором — в 8 раз. При этом массы растворов станут равными 336 кг, а общая масса растворов составит 672 кг. В первом сосуде станет 7x кг кислоты, а во втором 8y кг кислоты.
Этот шаг выполняется для того, чтобы смоделировать второе условие задачи: "если слить равные массы этих растворов". Умножив массу первого раствора ($48$ кг) на $7$ и массу второго ($42$ кг) на $8$, мы получаем равные массы по $336$ кг ($48 \cdot 7 = 336$; $42 \cdot 8 = 336$).
Концентрация первого раствора: $C_1 = \frac{x}{48}$. Количество кислоты в $336$ кг первого раствора: $336 \cdot \frac{x}{48} = 7x$ кг.
Концентрация второго раствора: $C_2 = \frac{y}{42}$. Количество кислоты в $336$ кг второго раствора: $336 \cdot \frac{y}{42} = 8y$ кг.

Тогда общее количество кислоты равно (7x + 8y) кг, или 0,40 ⋅ 672 кг.

Составим второе уравнение:
При смешивании этих равных масс ($336$ кг и $336$ кг) общая масса раствора составит $336 + 336 = 672$ кг. По условию, концентрация такого раствора равна $40\%$.
Общая масса кислоты в этой смеси равна $(7x + 8y)$ кг, а также $0,40 \cdot 672 = 268,8$ кг.
$7x + 8y = 268,8$

Решим систему двух уравнений:
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 37,8 \\ 7x + 8y = 268,8 \end{cases} $
Выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = 37,8 - y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$7(37,8 - y) + 8y = 268,8$
$264,6 - 7y + 8y = 268,8$
$264,6 + y = 268,8$
$y = 268,8 - 264,6$
$y = 4,2$
Таким образом, количество килограммов кислоты, которое содержится во втором растворе, равно $4,2$.
Ответ: 4,2