Номер 123, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

123 На рисунках 19, а и 19, б (с. 81) изображены графы. Сколько у каждого из них вершин степени $0$, степени $1$ и степени $2$?

Для решения этой задачи нужно определить степень каждой вершины в обоих графах. Степень вершины — это количество рёбер, которые к ней присоединены. Важно помнить, что петля (ребро, соединяющее вершину саму с собой) увеличивает степень вершины на $2$.

рисунок 19, а

Проанализируем граф, изображённый на рисунке 19, а. Он состоит из трёх несвязанных частей (компонент связности):

• Вершины степени $0$: К этой категории относятся изолированные вершины, то есть точки, не соединённые рёбрами ни с какой другой вершиной. В данном графе есть $1$ такая вершина.

• Вершины степени $1$: Это вершины, из которых выходит ровно одно ребро. В графе есть один отдельный отрезок, который состоит из двух вершин, и степень каждой из них равна $1$. Итого $2$ вершины степени $1$.

• Вершины степени $2$: Это вершины, соединённые двумя рёбрами с другими вершинами. В графе есть пятиугольник, состоящий из $5$ вершин. Каждая вершина пятиугольника соединена с двумя соседними, следовательно, все $5$ вершин имеют степень $2$.

Ответ: у графа на рисунке 19, а есть $1$ вершина степени 0, $2$ вершины степени 1 и $5$ вершин степени 2.

рисунок 19, б

Проанализируем граф, изображённый на рисунке 19, б. Он состоит из пяти несвязанных частей:

• Вершины степени $0$: В этом графе есть $2$ изолированные вершины. Их степень равна $0$.

• Вершины степени $1$: В графе есть один отдельный отрезок. Две вершины, образующие этот отрезок, имеют степень $1$. Всего $2$ вершины степени $1$.

• Вершины степени $2$: К этой категории относятся вершины треугольника, четырёхугольника и вершина с петлёй.
- В треугольнике $3$ вершины, и степень каждой из них равна $2$.
- В четырёхугольнике $4$ вершины, и степень каждой из них равна $2$.
- Вершина с петлёй также имеет степень $2$, так как петля даёт вклад в степень, равный $2$.
Суммарное количество вершин степени $2$ составляет: $3 + 4 + 1 = 8$.

Ответ: у графа на рисунке 19, б есть $2$ вершины степени 0, $2$ вершины степени 1 и $8$ вершин степени 2.