Номер 128, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

128 Придумайте и нарисуйте 3 неодинаковых графа, в каждом из которых по 6 рёбер. Найдите сумму степеней всех вершин каждого из этих графов.

В этой задаче нужно придумать три различных графа с 6 рёбрами и для каждого найти сумму степеней его вершин. Важно отметить, что согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер. Таким образом, для любого графа с 6 рёбрами сумма степеней вершин всегда будет равна $2 \times 6 = 12$.

Ниже приведены три примера неодинаковых графов с 6 рёбрами и расчёт суммы степеней их вершин.

Граф 1: Циклический граф $C_6$

Этот граф можно представить в виде шестиугольника. Он состоит из 6 вершин, и каждая вершина соединена ребром с двумя соседними, образуя замкнутую цепь. Общее количество рёбер равно 6.

Пусть вершины графа $V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6\}$. Рёбра соединяют вершины $(v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_4), (v_4, v_5), (v_5, v_6)$ и $(v_6, v_1)$.

Степень каждой из 6 вершин (количество инцидентных ей рёбер) равна 2.

Сумма степеней всех вершин вычисляется так: $2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12$.

Ответ: 12.

Граф 2: Полный граф $K_4$

Этот граф состоит из 4 вершин, причём каждая вершина соединена с каждой другой. Визуально его можно представить как квадрат, у которого проведены обе диагонали.

Количество рёбер в полном графе с $n$ вершинами равно $\frac{n(n-1)}{2}$. Для $n=4$ получаем $\frac{4 \times (4-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$ рёбер.

Каждая из 4 вершин соединена с остальными 3 вершинами, поэтому степень каждой вершины равна 3.

Сумма степеней всех вершин: $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Ответ: 12.

Граф 3: Граф-звезда $K_{1,6}$

Этот граф состоит из 7 вершин. Одна из них является центральной и соединена рёбрами с остальными 6 вершинами. Периферийные 6 вершин соединены только с центральной и не соединены между собой. Общее количество рёбер равно 6.

Степень центральной вершины равна 6.

Степень каждой из 6 периферийных вершин равна 1.

Сумма степеней всех вершин: $6 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 6 + 6 = 12$.

Ответ: 12.