Номер ?2, страница 158, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 9. Простые механизмы. «золотое правило» механики. Параграф 87. Лабораторные и исследовательские работы. Вопросы для обсуждения - номер ?2, страница 158.

Условие.

На невесомом рычаге, имеющем разные плечи, уравновешены два стальных шарика, объёмы которых различаются в 2 раза. Сохранится ли равновесие, если шарики опустить в воду?

Решение.

Дано:

$V_2 = 2 \cdot V_1$ (объем второго шарика в 2 раза больше объема первого)
$\rho_1 = \rho_2 = \rho_{ст}$ (шарики стальные, плотность одинаковая)
$M_1 = M_2$ (изначально рычаг в равновесии)

Найти:

Сохранится ли равновесие рычага, если шарики опустить в воду?

Решение:

1. Рассмотрим начальное состояние равновесия в воздухе.
На шарики действуют силы тяжести $F_1$ и $F_2$.
Масса первого шарика: $m_1 = \rho_{ст} \cdot V_1$.
Масса второго шарика: $m_2 = \rho_{ст} \cdot V_2 = \rho_{ст} \cdot (2 \cdot V_1) = 2 \cdot m_1$.
Силы, действующие на рычаг: $F_1 = m_1 \cdot g$ и $F_2 = m_2 \cdot g = 2 \cdot m_1 \cdot g$.
Условие равновесия рычага (равенство моментов сил): $M_1 = M_2$.
$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — плечи рычага.
Подставим выражения для сил: $(m_1 \cdot g) \cdot d_1 = (2 \cdot m_1 \cdot g) \cdot d_2$.
Сократив $m_1 \cdot g$, получим соотношение между плечами рычага: $d_1 = 2 \cdot d_2$.
Это означает, что для равновесия плечо меньшего шарика в два раза длиннее плеча большего шарика.

2. Рассмотрим состояние системы после погружения шариков в воду.
На каждый шарик, помимо силы тяжести, начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_A$.
Выталкивающая сила для первого шарика: $F_{A1} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_1$, где $\rho_{в}$ — плотность воды.
Выталкивающая сила для второго шарика: $F_{A2} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_2 = \rho_{в} \cdot g \cdot (2 \cdot V_1) = 2 \cdot F_{A1}$.
Новые силы (веса в воде), действующие на плечи рычага, будут равны:
$F'_1 = F_1 - F_{A1} = m_1 \cdot g - \rho_{в} \cdot g \cdot V_1 = (\rho_{ст} \cdot V_1) \cdot g - \rho_{в} \cdot g \cdot V_1 = (\rho_{ст} - \rho_{в}) \cdot g \cdot V_1$.
$F'_2 = F_2 - F_{A2} = m_2 \cdot g - \rho_{в} \cdot g \cdot V_2 = (2 \cdot m_1) \cdot g - \rho_{в} \cdot g \cdot (2 \cdot V_1) = 2 \cdot (\rho_{ст} \cdot V_1 \cdot g - \rho_{в} \cdot g \cdot V_1) = 2 \cdot (\rho_{ст} - \rho_{в}) \cdot g \cdot V_1$.
Сравнивая новые силы, видим, что $F'_2 = 2 \cdot F'_1$. Соотношение сил осталось прежним.

3. Проверим условие равновесия рычага в воде.
Для сохранения равновесия должно выполняться равенство моментов новых сил: $M'_1 = M'_2$, то есть $F'_1 \cdot d_1 = F'_2 \cdot d_2$.
Подставим в это равенство известные нам соотношения $d_1 = 2 \cdot d_2$ и $F'_2 = 2 \cdot F'_1$:
Левая часть: $M'_1 = F'_1 \cdot d_1 = F'_1 \cdot (2 \cdot d_2)$.
Правая часть: $M'_2 = F'_2 \cdot d_2 = (2 \cdot F'_1) \cdot d_2$.
Поскольку $F'_1 \cdot (2 \cdot d_2) = (2 \cdot F'_1) \cdot d_2$, равенство моментов сохраняется. Следовательно, равновесие рычага не нарушится.

Ответ: Да, равновесие сохранится. При погружении в воду силы, действующие на плечи рычага, уменьшатся, но их отношение останется прежним, поэтому равенство моментов сил не нарушится.