Номер 18, страница 7, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 16. Давление твёрдого тела - номер 18, страница 7.

Условие.

18. Алюминиевый куб оказывает на стол такое же давление, как и медный куб.

а) Чему равно отношение длины ребра алюминиевого куба к длине ребра медного куба?

б) Чему равно отношение массы алюминиевого куба к массе медного куба?

Решение.

Дано:

$P_а = P_м$ (давление алюминиевого и медного кубов одинаково)

Плотность алюминия: $ρ_а = 2700 \, \text{кг/м}^3$ (табличное значение)

Плотность меди: $ρ_м = 8900 \, \text{кг/м}^3$ (табличное значение)

Найти:

а) $\frac{L_а}{L_м}$ - отношение длины ребра алюминиевого куба к длине ребра медного куба.

б) $\frac{m_а}{m_м}$ - отношение массы алюминиевого куба к массе медного куба.

Решение:

Давление, которое твердое тело оказывает на опору, определяется по формуле $P = \frac{F}{S}$, где $\text{F}$ - сила, с которой тело действует на опору, а $\text{S}$ - площадь опоры. В случае куба, стоящего на столе, сила давления равна его весу $F = mg$, где $\text{m}$ - масса куба, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения. Площадь опоры куба - это площадь его основания $S = L^2$, где $\text{L}$ - длина ребра куба.

Массу куба можно выразить через его плотность $ρ$ и объем $V = L^3$: $m = ρV = ρL^3$.

Подставим все выражения в формулу для давления:

$P = \frac{mg}{S} = \frac{(ρL^3)g}{L^2} = ρLg$

Эта формула показывает, что давление, оказываемое кубом, прямо пропорционально его плотности и длине ребра.

По условию задачи, давления, создаваемые алюминиевым (индекс "а") и медным (индекс "м") кубами, равны:

$P_а = P_м$

а) Чему равно отношение длины ребра алюминиевого куба к длине ребра медного куба?

Используя выведенную формулу $P = ρLg$, запишем равенство давлений для двух кубов:

$ρ_а L_а g = ρ_м L_м g$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ одинаково для обоих кубов, поэтому его можно сократить:

$ρ_а L_а = ρ_м L_м$

Из этого равенства выразим искомое отношение длин рёбер $\frac{L_а}{L_м}$:

$\frac{L_а}{L_м} = \frac{ρ_м}{ρ_а}$

Подставим табличные значения плотностей алюминия и меди:

$\frac{L_а}{L_м} = \frac{8900 \, \text{кг/м}^3}{2700 \, \text{кг/м}^3} = \frac{89}{27} \approx 3,30$

Ответ: Отношение длины ребра алюминиевого куба к длине ребра медного куба равно $\frac{ρ_м}{ρ_а} = \frac{89}{27} \approx 3,30$.

б) Чему равно отношение массы алюминиевого куба к массе медного куба?

Отношение масс кубов можно найти, используя формулу массы $m = ρL^3$:

$\frac{m_а}{m_м} = \frac{ρ_а L_а^3}{ρ_м L_м^3} = \frac{ρ_а}{ρ_м} \cdot (\frac{L_а}{L_м})^3$

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{L_а}{L_м} = \frac{ρ_м}{ρ_а}$. Подставим это соотношение в формулу для отношения масс:

$\frac{m_а}{m_м} = \frac{ρ_а}{ρ_м} \cdot (\frac{ρ_м}{ρ_а})^3 = \frac{ρ_а}{ρ_м} \cdot \frac{ρ_м^3}{ρ_а^3} = \frac{ρ_м^2}{ρ_а^2} = (\frac{ρ_м}{ρ_а})^2$

Также можно прийти к этому результату другим путем. Из условия равенства давлений $P_а = P_м$ следует, что $\frac{m_а g}{S_а} = \frac{m_м g}{S_м}$. Сократив $\text{g}$, получаем $\frac{m_а}{S_а} = \frac{m_м}{S_м}$. Отсюда отношение масс равно отношению площадей оснований:

$\frac{m_а}{m_м} = \frac{S_а}{S_м} = \frac{L_а^2}{L_м^2} = (\frac{L_а}{L_м})^2$

Подставив найденное в пункте а) отношение длин ребер, получим тот же результат: $\frac{m_а}{m_м} = (\frac{ρ_м}{ρ_а})^2$.

Теперь вычислим числовое значение этого отношения:

$\frac{m_а}{m_м} = (\frac{8900 \, \text{кг/м}^3}{2700 \, \text{кг/м}^3})^2 = (\frac{89}{27})^2 = \frac{7921}{729} \approx 10,9$

Ответ: Отношение массы алюминиевого куба к массе медного куба равно $(\frac{ρ_м}{ρ_а})^2 = (\frac{89}{27})^2 \approx 10,9$.