Номер 26, страница 52, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 21. Плавание тел - номер 26, страница 52.

Условие.

26. Когда на льдине лежит белый медведь массой 500 кг, объём надводной части льдины равен $2 \text{ м}^3$. Чему равен объём всей льдины?

Решение.

Дано:

$m_м = 500$ кг (масса медведя)

$V_н = 2$ м³ (объем надводной части льдины)

Для решения задачи примем справочные значения плотностей:

$\rho_в \approx 1000$ кг/м³ (плотность пресной воды)

$\rho_л \approx 900$ кг/м³ (плотность льда)

Найти:

$V_л$ - ? (объем всей льдины)

Решение:

Льдина с медведем плавает на поверхности воды, это означает, что система находится в равновесии. По условию плавания тел, суммарная сила тяжести, действующая на льдину и медведя, уравновешивается выталкивающей силой Архимеда, действующей на погруженную в воду часть льдины.

Запишем это условие в виде формулы:

$F_{тяж} = F_А$

Суммарная сила тяжести $F_{тяж}$ равна сумме сил тяжести, действующих на медведя ($m_м \cdot g$) и на льдину ($m_л \cdot g$):

$F_{тяж} = (m_м + m_л) \cdot g$

Массу льдины $m_л$ можно выразить через ее полный объем $V_л$ и плотность льда $\rho_л$:

$m_л = \rho_л \cdot V_л$

Подставив это в формулу силы тяжести, получим:

$F_{тяж} = (m_м + \rho_л \cdot V_л) \cdot g$

Выталкивающая сила Архимеда $F_А$ определяется весом вытесненной жидкости:

$F_А = \rho_в \cdot g \cdot V_п$

где $V_п$ – объем погруженной (подводной) части льдины.

Объем погруженной части $V_п$ равен разности полного объема льдины $V_л$ и ее надводного объема $V_н$:

$V_п = V_л - V_н$

Таким образом, сила Архимеда равна:

$F_А = \rho_в \cdot g \cdot (V_л - V_н)$

Теперь приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$(m_м + \rho_л \cdot V_л) \cdot g = \rho_в \cdot g \cdot (V_л - V_н)$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ есть в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:

$m_м + \rho_л \cdot V_л = \rho_в \cdot (V_л - V_н)$

Раскроем скобки в правой части:

$m_м + \rho_л \cdot V_л = \rho_в \cdot V_л - \rho_в \cdot V_н$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы члены с искомой величиной $V_л$ оказались в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$m_м + \rho_в \cdot V_н = \rho_в \cdot V_л - \rho_л \cdot V_л$

Вынесем $V_л$ за скобки:

$m_м + \rho_в \cdot V_н = V_л \cdot (\rho_в - \rho_л)$

Из этого уравнения выразим полный объем льдины $V_л$:

$V_л = \frac{m_м + \rho_в \cdot V_н}{\rho_в - \rho_л}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$V_л = \frac{500 \text{ кг} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \text{ м}^3}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{500 \text{ кг} + 2000 \text{ кг}}{100 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{2500 \text{ кг}}{100 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 25 \text{ м}^3$

Ответ: объем всей льдины равен 25 м³.