Номер 27, страница 52, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 21. Плавание тел - номер 27, страница 52.

Условие.

27. Чему может быть равна масса плоской льдины, если она не погружается полностью в воду, когда на неё помещают груз массой 60 кг?

Решение.

Дано:

$m_{груза} = 60 \text{ кг}$

$\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность пресной воды)

$\rho_{льда} \approx 900 \text{ кг/м}^3$ (плотность льда)

Найти:

$m_{льдины}$ — массу льдины.

Решение:

Чтобы льдина с грузом плавала и не тонула, действующая на них суммарная сила тяжести должна уравновешиваться выталкивающей силой Архимеда. По условию, льдина не погружается в воду полностью. Это означает, что сила тяжести льдины с грузом меньше, чем максимальная выталкивающая сила, которая возникла бы при полном погружении льдины в воду.

Запишем это условие в виде неравенства:

$F_{тяж} < F_{А, макс}$

Сила тяжести, действующая на льдину и груз:

$F_{тяж} = (m_{льдины} + m_{груза})g$

Максимальная выталкивающая сила (сила Архимеда) равна весу воды в объеме всей льдины:

$F_{А, макс} = \rho_{воды} g V_{льдины}$

Объем льдины $V_{льдины}$ можно выразить через её массу $m_{льдины}$ и плотность $\rho_{льда}$:

$V_{льдины} = \frac{m_{льдины}}{\rho_{льда}}$

Подставим это выражение в формулу для максимальной силы Архимеда:

$F_{А, макс} = \rho_{воды} g \frac{m_{льдины}}{\rho_{льда}}$

Теперь подставим выражения для сил в исходное неравенство:

$(m_{льдины} + m_{груза})g < \rho_{воды} g \frac{m_{льдины}}{\rho_{льда}}$

Можно сократить ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях неравенства:

$m_{льдины} + m_{груза} < \frac{\rho_{воды}}{\rho_{льда}} m_{льдины}$

Подставим известные значения:

$m_{льдины} + 60 < \frac{1000}{900} m_{льдины}$

$m_{льдины} + 60 < \frac{10}{9} m_{льдины}$

Теперь решим неравенство относительно $m_{льдины}$:

$60 < \frac{10}{9} m_{льдины} - m_{льдины}$

$60 < (\frac{10}{9} - 1) m_{льдины}$

$60 < (\frac{10}{9} - \frac{9}{9}) m_{льдины}$

$60 < \frac{1}{9} m_{льдины}$

Умножим обе части на 9:

$60 \cdot 9 < m_{льдины}$

$540 < m_{льдины}$

Следовательно, масса льдины должна быть больше 540 кг.

Ответ: масса плоской льдины должна быть больше 540 кг ($m_{льдины} > 540 \text{ кг}$).