Глава V, страница 109, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Задания для проектно-исследовательской деятельности - страница 109.

Условие.

1. Рычажные весы

Цель: изготовить рычажные весы для своей домашней лаборатории.

Изготовьте рычажные весы, используя в качестве рычага достаточно прочную линейку. Сделайте из плотного картона или жести призму, ребро которой будет играть роль оси вращения. Используя предмет известной массы и правило рычага, измерьте массы различных предметов.

Предложите методику взвешивания на неравноплечих весах.

Решение.

Изготовление рычажных весов и измерение массы предметов

Для изготовления рычажных весов и измерения массы необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовка материалов. Понадобятся: достаточно прочная и жесткая линейка, которая будет служить рычагом; призма из плотного картона или жести в качестве опоры (оси вращения); предмет известной массы $m_{эт}$ (эталон) и предметы, массу которых нужно измерить.

2. Сборка весов. Установите призму на ровную горизонтальную поверхность ребром вверх. Положите на ребро призмы линейку и найдите ее центр тяжести, перемещая линейку до тех пор, пока она не придет в состояние равновесия (будет располагаться строго горизонтально). Отметьте эту точку на линейке – это будет точка опоры.

3. Процесс взвешивания.

а) Поместите на одно плечо рычага (линейки) на расстоянии $l_1$ от точки опоры эталонный груз массой $m_{эт}$.

б) На другое плечо на расстоянии $l_2$ от точки опоры поместите предмет, массу $m_x$ которого нужно определить.

в) Перемещая грузы вдоль линейки, добейтесь равновесия рычага. Для удобства можно зафиксировать один из грузов (например, эталонный) и перемещать только второй.

г) Когда рычаг будет в равновесии, измерьте расстояния $l_1$ и $l_2$ от точки опоры до центров масс эталонного груза и измеряемого предмета соответственно.

4. Расчет массы. Используйте правило рычага (условие равновесия), согласно которому моменты сил, действующих на рычаг, равны: $M_1 = M_2$. Момент силы равен произведению силы на ее плечо: $F \cdot l$. Силы, действующие на рычаг, — это веса грузов: $F_1 = m_{эт} \cdot g$ и $F_2 = m_x \cdot g$.

Условие равновесия примет вид:

$m_{эт} \cdot g \cdot l_1 = m_x \cdot g \cdot l_2$

Сократив на $\text{g}$ (ускорение свободного падения), получим:

$m_{эт} \cdot l_1 = m_x \cdot l_2$

Отсюда можно выразить искомую массу $m_x$:

$m_x = m_{эт} \cdot \frac{l_1}{l_2}$

Измерив плечи $l_1$ и $l_2$ и зная массу эталона $m_{эт}$, можно вычислить массу любого предмета.

Ответ: Для изготовления весов нужно уравновесить линейку на опоре (призме). Для измерения массы неизвестного предмета нужно поместить его и эталонный груз на разные плечи рычага и, добившись равновесия, измерить плечи $l_1$ и $l_2$. Масса вычисляется по формуле $m_x = m_{эт} \cdot (l_1/l_2)$.

Предложите методику взвешивания на неравноплечих весах

Если плечи весов $l_1$ и $l_2$ неизвестны и, возможно, не равны друг другу ($l_1 \ne l_2$), точную массу тела можно определить методом двойного взвешивания (метод Гаусса).

Решение

1. Поместим взвешиваемое тело массой $m_x$ на левую чашу весов. Уравновесим его гирями массой $m_1$, помещенными на правую чашу. Запишем условие равновесия рычага:

$m_x \cdot g \cdot l_1 = m_1 \cdot g \cdot l_2$

или

$m_x \cdot l_1 = m_1 \cdot l_2$ (1)

2. Теперь поместим то же тело массой $m_x$ на правую чашу весов. Уравновесим его гирями массой $m_2$, помещенными на левую чашу. Условие равновесия в этом случае будет:

$m_2 \cdot g \cdot l_1 = m_x \cdot g \cdot l_2$

или

$m_2 \cdot l_1 = m_x \cdot l_2$ (2)

3. Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными ($m_x, l_1, l_2$). Однако, мы можем найти $m_x$, исключив неизвестные длины плеч $l_1$ и $l_2$. Для этого разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{m_x \cdot l_1}{m_2 \cdot l_1} = \frac{m_1 \cdot l_2}{m_x \cdot l_2}$

Сокращая $l_1$ в левой части и $l_2$ в правой, получаем:

$\frac{m_x}{m_2} = \frac{m_1}{m_x}$

4. Из полученной пропорции выразим искомую массу $m_x$:

$m_x^2 = m_1 \cdot m_2$

$m_x = \sqrt{m_1 \cdot m_2}$

Таким образом, истинная масса тела является средним геометрическим двух измеренных масс ($m_1$ и $m_2$).

Ответ: Для точного взвешивания на неравноплечих весах следует использовать метод двойного взвешивания. Сначала предмет уравновешивается гирями на одной чаше, затем на другой. Истинная масса предмета $m_x$ вычисляется как среднее геометрическое масс гирь $m_1$ и $m_2$, использованных в двух взвешиваниях: $m_x = \sqrt{m_1 \cdot m_2}$.