Номер 1, страница 110, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Параграф 16. Давление твёрдого тела - номер 1, страница 110.

Условие.

1. Когда медные цилиндры находятся на столе в положениях A, B, C (рис. 1), оказываемые ими давления на стол равны соответственно $\text{p}$, $\text{2p}$, $\text{4p}$.

а) Чему равно давление, оказываемое цилиндрами в положении D?

б) Во сколько раз высота одного цилиндра больше, чем другого?

Рис. 1

Решение.

Дано:

Давление в положении А: $P_A = p$

Давление в положении B: $P_B = 2p$

Давление в положении C: $P_C = 4p$

Цилиндры изготовлены из одного материала (медь), следовательно, их плотность $\rho$ одинакова.

Найти:

а) Давление в положении D, $P_D$.

б) Во сколько раз высота одного цилиндра больше, чем другого.

Решение:

Введем обозначения для двух цилиндров:

• Цилиндр 1 (широкий, в положении А): высота $h_1$, площадь основания $S_1$, масса $m_1$.
• Цилиндр 2 (узкий, в положении С): высота $h_2$, площадь основания $S_2$, масса $m_2$.

Давление, которое оказывает на опору сплошной цилиндр, стоящий на своем основании, можно рассчитать по формуле $P = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho V g}{S} = \frac{\rho S h g}{S} = \rho g h$, где $\text{h}$ - высота цилиндра.

б) Во сколько раз высота одного цилиндра больше, чем другого?

В положении А на столе стоит только широкий цилиндр 1. Давление, которое он оказывает:

$P_A = \rho g h_1 = p$

В положении С на столе стоит только узкий цилиндр 2. Его давление:

$P_C = \rho g h_2 = 4p$

Чтобы найти отношение высот, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{P_C}{P_A} = \frac{\rho g h_2}{\rho g h_1} = \frac{h_2}{h_1}$

Подставим известные значения давлений:

$\frac{h_2}{h_1} = \frac{4p}{p} = 4$

Таким образом, высота узкого цилиндра в 4 раза больше высоты широкого.

Ответ: Высота одного цилиндра (узкого) больше высоты другого (широкого) в 4 раза.

а) Чему равно давление, оказываемое цилиндрами в положении D?

В положении В на широком цилиндре стоит узкий. Общий вес двух цилиндров $F_{total} = (m_1 + m_2)g$ давит на площадь $S_1$. Давление равно:

$P_B = \frac{(m_1 + m_2)g}{S_1} = 2p$

В положении D на узком цилиндре стоит широкий. Тот же общий вес $F_{total}$ давит на площадь $S_2$. Давление равно:

$P_D = \frac{(m_1 + m_2)g}{S_2}$

Из этих двух выражений видно, что $\frac{P_D}{P_B} = \frac{(m_1 + m_2)g / S_2}{(m_1 + m_2)g / S_1} = \frac{S_1}{S_2}$. Следовательно, $P_D = P_B \frac{S_1}{S_2} = 2p \frac{S_1}{S_2}$.

Чтобы найти $P_D$, нам нужно найти отношение площадей $\frac{S_1}{S_2}$. Рассмотрим давление $P_B$ более подробно:

$P_B = \frac{m_1 g + m_2 g}{S_1} = \frac{m_1 g}{S_1} + \frac{m_2 g}{S_1}$

Первое слагаемое $\frac{m_1 g}{S_1}$ — это давление, создаваемое только первым цилиндром, то есть $P_A = p$.

$P_B = P_A + \frac{m_2 g}{S_1} = p + \frac{\rho S_2 h_2 g}{S_1}$

Подставим известные значения $P_B = 2p$ и $\rho g h_2 = P_C = 4p$:

$2p = p + \frac{S_2 (4p)}{S_1}$

$p = \frac{S_2}{S_1} \cdot 4p$

Разделив обе части на $\text{p}$ (так как $p \ne 0$), получим:

$1 = \frac{S_2}{S_1} \cdot 4 \implies \frac{S_1}{S_2} = 4$

Теперь мы можем найти давление в положении D:

$P_D = 2p \frac{S_1}{S_2} = 2p \cdot 4 = 8p$

Ответ: Давление, оказываемое цилиндрами в положении D, равно $\text{8p}$.