Номер 2, страница 111, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Параграф 18. Зависимость давления в жидкости и газе от глубины или высоты. Сообщающиеся сосуды - номер 2, страница 111.

Условие.

2. В один из пяти одинаковых сообщающихся сосудов, частично заполненных водой (рис. 2), доливают керосин. Высота столба керосина 25 см. Насколько поднялся уровень воды в остальных сосудах, если весь керосин остался в одном сосуде?

Рис. 2

Решение.

Дано:

Количество сообщающихся сосудов, n = 5

Высота столба керосина, h_к = 25 см

Плотность воды (табличное значение), ρ_в ≈ 1000 кг/м³

Плотность керосина (табличное значение), ρ_к ≈ 800 кг/м³

h_к = 25 см = 0.25 м

Найти:

Δh - ?

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на любом горизонтальном уровне однородной жидкости должно быть одинаковым. Рассмотрим уровень границы раздела воды и керосина в первом сосуде (в который налили керосин).

В этом сосуде давление на этом уровне создается столбом керосина высотой h_к. Это гидростатическое давление (без учета атмосферного) равно:

$p_1 = ρ_к \cdot g \cdot h_к$

В остальных четырех сосудах на этом же уровне давление создается столбом воды, высота которого равна разности между новым уровнем воды в этих сосудах и уровнем границы раздела "вода-керосин" в первом сосуде. Обозначим эту разность высот как h_в. Тогда давление будет:

$p_2 = ρ_в \cdot g \cdot h_в$

Поскольку давления $p_1$ и $p_2$ на одном уровне должны быть равны, получаем:

$ρ_к \cdot g \cdot h_к = ρ_в \cdot g \cdot h_в$

Отсюда можем выразить высоту столба воды h_в, который уравновешивает столб керосина h_к:

$h_в = \frac{ρ_к \cdot h_к}{ρ_в}$

Теперь воспользуемся законом сохранения объема воды. Пусть уровень воды в четырех сосудах поднялся на величину Δh. Объем воды, который поднялся в этих четырех сосудах, равен $V_{подъема} = 4 \cdot S \cdot Δh$, где S – площадь поперечного сечения одного сосуда.

Этот объем воды переместился из первого сосуда. В первом сосуде уровень воды (граница с керосином) оказался ниже нового уровня воды в остальных четырех сосудах на величину h_в. Если новый уровень воды в четырех сосудах составляет $H_{исходный} + Δh$, то уровень границы "вода-керосин" в первом сосуде будет $(H_{исходный} + Δh) - h_в$. Объем воды, вытесненной из-под исходного уровня в первом сосуде, равен $V_{опускания} = S \cdot (H_{исходный} - ((H_{исходный} + Δh) - h_в)) = S \cdot (h_в - Δh)$.

Приравняем объемы:

$V_{подъема} = V_{опускания}$

$4 \cdot S \cdot Δh = S \cdot (h_в - Δh)$

$4 \cdot Δh = h_в - Δh$

$5 \cdot Δh = h_в$

Теперь подставим в это уравнение выражение для h_в, полученное ранее из условия равенства давлений:

$5 \cdot Δh = \frac{ρ_к \cdot h_к}{ρ_в}$

Отсюда находим искомую величину Δh:

$Δh = \frac{ρ_к \cdot h_к}{5 \cdot ρ_в}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$Δh = \frac{800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.25 м}{5 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3}} = \frac{200}{5000} м = 0.04 м$

Переведем результат в сантиметры:

$0.04 м = 4 см$

Ответ: уровень воды в остальных сосудах поднялся на 4 см.