Номер 3, страница 110, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Параграф 16. Давление твёрдого тела - номер 3, страница 110.

Условие.

3. Брусок массой 2 кг, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, может оказывать на стол давление 1, 2 и 4 кПа в зависимости от того, какой гранью брусок касается стола. Каковы размеры бруска?

Решение.

Дано:

m = 2 кг
P₁ = 1 кПа
P₂ = 2 кПа
P₃ = 4 кПа

В системе СИ:
P₁ = 1000 Па
P₂ = 2000 Па
P₃ = 4000 Па

Найти:

a, b, c - размеры бруска.

Решение:

Давление $\text{P}$, которое тело оказывает на опору, определяется по формуле $P = F/S$, где $\text{F}$ – сила, действующая перпендикулярно опоре, а $\text{S}$ – площадь опоры.

В данном случае сила $\text{F}$ – это вес бруска, который равен $F = mg$, где $\text{m}$ – масса бруска, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Для удобства вычислений примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найдем силу, с которой брусок давит на стол:

$F = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 20 \text{ Н}$

Брусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда, у которого есть три пары одинаковых граней с разными площадями. Давление обратно пропорционально площади опоры ($P \sim 1/S$). Следовательно, наименьшее давление ($P_{min} = 1 \text{ кПа}$) соответствует наибольшей площади грани ($S_{max}$), а наибольшее давление ($P_{max} = 4 \text{ кПа}$) – наименьшей площади ($S_{min}$).

Рассчитаем площади трех различных граней бруска, используя формулу $S = F/P$:

Наибольшая площадь $S_{max}$ соответствует давлению $P_{1} = 1 \text{ кПа}$:

$S_{max} = F / P_{1} = 20 \text{ Н} / 1000 \text{ Па} = 0.02 \text{ м}^2$

Средняя по величине площадь $S_{mid}$ соответствует давлению $P_{2} = 2 \text{ кПа}$:

$S_{mid} = F / P_{2} = 20 \text{ Н} / 2000 \text{ Па} = 0.01 \text{ м}^2$

Наименьшая площадь $S_{min}$ соответствует давлению $P_{3} = 4 \text{ кПа}$:

$S_{min} = F / P_{3} = 20 \text{ Н} / 4000 \text{ Па} = 0.005 \text{ м}^2$

Пусть размеры (длины ребер) параллелепипеда равны $a, b, c$. Тогда площади его граней равны $ab, ac, bc$. Составим систему уравнений, сопоставив произведения размеров с вычисленными площадями:

$ab = S_{min} = 0.005 \text{ м}^2$ (1)
$ac = S_{mid} = 0.01 \text{ м}^2$ (2)
$bc = S_{max} = 0.02 \text{ м}^2$ (3)

Решим эту систему уравнений. Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$(ac) / (ab) = 0.01 / 0.005$

$c/b = 2 \implies c = 2b$

Теперь подставим это соотношение в уравнение (3):

$b \cdot (2b) = 0.02$

$2b^2 = 0.02$

$b^2 = 0.01$

$b = \sqrt{0.01} = 0.1 \text{ м}$

Зная $\text{b}$, найдем $\text{c}$:

$c = 2b = 2 \cdot 0.1 = 0.2 \text{ м}$

Наконец, из уравнения (1) найдем $\text{a}$:

$a \cdot 0.1 = 0.005$

$a = 0.005 / 0.1 = 0.05 \text{ м}$

Таким образом, размеры бруска составляют 0.05 м, 0.1 м и 0.2 м. Это можно также выразить в сантиметрах: 5 см, 10 см и 20 см.

Ответ: Размеры бруска: 0.05 м, 0.1 м, 0.2 м (или 5 см, 10 см, 20 см).