Номер 1, страница 111, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Параграф 18. Зависимость давления в жидкости и газе от глубины или высоты. Сообщающиеся сосуды - номер 1, страница 111.

Условие.

1. В дне кастрюли радиусом 10 см просверлили круглое отверстие радиусом 1 см и плотно вставили в него прозрачную трубку, перпендикулярную дну. Затем кастрюлю поставили вверх дном на кусок резины и начали наливать через трубку воду. Вода начала вытекать из-под кастрюли, когда высота воды в трубке оказалась равной 4 см. Чему равна масса кастрюли?

Решение.

Дано:

Радиус дна кастрюли: $R = 10$ см

Радиус отверстия (трубки): $r = 1$ см

Высота воды в трубке: $h = 4$ см

Плотность воды: $\rho \approx 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

$R = 0.1$ м

$r = 0.01$ м

$h = 0.04$ м

Найти:

Массу кастрюли $\text{m}$.

Решение:

Вода начинает вытекать из-под кастрюли в тот момент, когда сила давления, создаваемая столбом воды, приподнимает кастрюлю. Это происходит, когда сила давления, действующая на дно кастрюли снизу вверх, становится равной силе тяжести кастрюли, действующей вниз.

1. Давление $\text{p}$, создаваемое столбом воды высотой $\text{h}$, определяется по формуле гидростатического давления:

$p = \rho g h$

где $\rho$ — плотность воды, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

2. Согласно закону Паскаля, это давление передается во все точки жидкости (и на границу с воздухом под кастрюлей) без изменений. Таким образом, на дно кастрюли действует давление $\text{p}$, создавая направленную вверх силу $F_{давл}$.

3. Эта сила действует на площадь кольца, образованного дном кастрюли, за вычетом площади отверстия, в которое вставлена трубка. Площадь этого кольца $\text{S}$ равна:

$S = S_{дна} - S_{отв} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$

4. Сила давления, действующая на кастрюлю вверх, равна:

$F_{давл} = p \cdot S = \rho g h \cdot \pi(R^2 - r^2)$

5. Сила тяжести, действующая на кастрюлю вниз, равна:

$F_{тяж} = m g$

6. В момент, когда кастрюля начинает приподниматься, эти силы равны:

$F_{давл} = F_{тяж}$

$\rho g h \pi (R^2 - r^2) = m g$

7. Мы можем сократить $\text{g}$ в обеих частях уравнения, чтобы найти массу $\text{m}$:

$m = \rho h \pi (R^2 - r^2)$

8. Подставим числовые значения в системе СИ:

$m = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.04 \text{ м} \cdot \pi \cdot ((0.1 \text{ м})^2 - (0.01 \text{ м})^2)$

$m = 40 \cdot \pi \cdot (0.01 \text{ м}^2 - 0.0001 \text{ м}^2)$

$m = 40 \cdot \pi \cdot 0.0099 \text{ кг}$

$m = 0.396 \pi \text{ кг}$

Принимая значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$m \approx 0.396 \cdot 3.14159 \approx 1.244 \text{ кг}$

Ответ: масса кастрюли равна приблизительно $1.244$ кг.