Номер 45.17, страница 167 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 45. Тепловые двигатели. Глава 6. Тепловые явления - номер 45.17, страница 167.

45.17 [1142] Вычислите КПД турбин, описанных в предыдущей задаче.

Дано:

$P_{полезная} = N = 650 \text{ МВт}$; $h = 36 \text{ м}$; $\rho = 1000 \text{ кг/м³}$; $t_{год} = 365 \text{ суток}$; $V_{год} = 2.5 \cdot 10^{10} \text{ м³}$ (примечание: данные для $N$, $h$, $\rho$, $t_{год}$ взяты из условия предыдущей задачи 45.16, а значение $V_{год}$ — из ответа к ней).

Перевод в систему СИ:

$P_{полезная} = 650 \cdot 10^6 \text{ Вт} = 6.5 \cdot 10^8 \text{ Вт}$

$t_{год} = 365 \text{ суток} \cdot 24 \frac{\text{ч}}{\text{сутки}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 31536000 \text{ с} \approx 3.154 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:

$\eta$ — КПД турбин.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) турбины, $\eta$, определяется как отношение полезной (выходной) мощности к затраченной (входной) мощности:

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{затраченная}}$

Полезная мощность $P_{полезная}$ дана в условии и составляет $6.5 \cdot 10^8$ Вт.

Затраченная мощность $P_{затраченная}$ — это мощность, которую развивает поток воды, падающий с высоты $h$. Она рассчитывается как работа силы тяжести, совершаемая за единицу времени:

$P_{затраченная} = \frac{mgh}{t} = \rho q g h$

где $q = \frac{V}{t}$ — объемный расход воды (объем воды, проходящий через турбины в секунду), а $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8$ м/с²).

Сначала найдем объемный расход воды $q$, используя годовой объем $V_{год}$ из ответа к предыдущей задаче:

$q = \frac{V_{год}}{t_{год}} = \frac{2.5 \cdot 10^{10} \text{ м³}}{3.154 \cdot 10^7 \text{ с}} \approx 792.7 \text{ м³/с}$

Теперь рассчитаем затраченную мощность:

$P_{затраченная} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 792.7 \frac{\text{м³}}{\text{с}} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 36 \text{ м} \approx 2.797 \cdot 10^8 \text{ Вт}$

Сравним затраченную и полезную мощности: $P_{затраченная} \approx 2.8 \cdot 10^8$ Вт, а $P_{полезная} = 6.5 \cdot 10^8$ Вт. Мы видим, что полезная мощность оказывается больше затраченной ($P_{полезная} > P_{затраченная}$), что противоречит закону сохранения энергии. КПД в этом случае был бы больше 100%, что физически невозможно:

$\eta = \frac{6.5 \cdot 10^8 \text{ Вт}}{2.797 \cdot 10^8 \text{ Вт}} \approx 2.32$

Это указывает на ошибку в исходных данных. Наиболее вероятна опечатка в ответе к задаче 45.16. Предположим, что верный годовой расход воды составляет $V_{год} = 7.5 \cdot 10^{10}$ м³ (частая опечатка '2' вместо '7'). Проведем расчет с этим исправленным значением.

Новый объемный расход воды $q'$:

$q' = \frac{7.5 \cdot 10^{10} \text{ м³}}{3.154 \cdot 10^7 \text{ с}} \approx 2378 \text{ м³/с}$

Новая затраченная мощность $P'_{затраченная}$:

$P'_{затраченная} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 2378 \frac{\text{м³}}{\text{с}} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с²}} \cdot 36 \text{ м} \approx 8.39 \cdot 10^8 \text{ Вт}$

Теперь КПД имеет физически осмысленное значение:

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P'_{затраченная}} = \frac{6.5 \cdot 10^8 \text{ Вт}}{8.39 \cdot 10^8 \text{ Вт}} \approx 0.775$

В процентах это составляет $\eta \approx 77.5\%$, что является реалистичным значением для турбин ГЭС.

Ответ: КПД турбин составляет примерно 77.5%. Следует отметить, что этот результат получен в предположении об опечатке в данных из задачника, поскольку прямой расчет по исходным данным приводит к физически некорректному результату.