Номер 7, страница 172 - гдз по физике 7 класс учебник Кронгарт, Даданбеков

7. Подтвердите зависимость кинетической энергии от скорости тела.

7. Подтвердите зависимость кинетической энергии от скорости тела.

Зависимость кинетической энергии тела от его скорости можно подтвердить как теоретически, исходя из основных законов механики, так и с помощью мысленного или реального эксперимента.

Теоретическое подтверждение

Кинетическая энергия ($E_k$) — это энергия, которой обладает тело вследствие своего движения. По определению, работа, совершаемая силой при разгоне тела, идет на увеличение его кинетической энергии. Этот принцип известен как теорема о кинетической энергии: работа $A$ равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению его кинетической энергии $\Delta E_k$.

$A = \Delta E_k$

Рассмотрим тело массой $m$, которое находится в состоянии покоя ($v_0 = 0$). На него начинает действовать постоянная сила $F$, под действием которой тело начинает двигаться с постоянным ускорением $a$ и, пройдя путь $s$, достигает скорости $v$.

Работа, совершённая силой $F$ на пути $s$, равна:

$A = F \cdot s$

Согласно второму закону Ньютона:

$F = ma$

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = (ma)s = m(as)$

Из кинематики для равноускоренного движения без начальной скорости мы знаем формулу, связывающую путь, ускорение и конечную скорость:

$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} = \frac{v^2}{2a}$

Отсюда можно выразить произведение $as$:

$as = \frac{v^2}{2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для работы:

$A = m \cdot \frac{v^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Так как работа пошла на увеличение кинетической энергии тела от нуля до некоторого значения $E_k$, то $A = E_k$. Следовательно, мы получаем формулу для кинетической энергии:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Из этой формулы видно, что кинетическая энергия прямо пропорциональна массе тела $m$ и, что самое важное для данного вопроса, прямо пропорциональна квадрату его скорости $v^2$.

$E_k \propto v^2$

Это означает, что:

- при увеличении скорости в 2 раза кинетическая энергия увеличится в $2^2 = 4$ раза;

- при увеличении скорости в 3 раза кинетическая энергия увеличится в $3^2 = 9$ раз;

- при уменьшении скорости в 2 раза кинетическая энергия уменьшится в 4 раза.

Таким образом, квадратичная зависимость кинетической энергии от скорости подтверждается выводом из фундаментальных законов механики.

Экспериментальное подтверждение (мысленный эксперимент)

Представим простой эксперимент: шарик скатывается с наклонной плоскости и сталкивается с бруском, стоящим на горизонтальной поверхности. Перемещение бруска после удара будет служить мерой кинетической энергии шарика.

1. Поместим шарик на высоту $h_1$ на наклонной плоскости. Скатившись, он приобретет скорость $v_1$.

2. Теперь поместим тот же шарик на высоту $h_2 = 4h_1$. Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия переходит в кинетическую: $mgh = \frac{mv^2}{2}$. Отсюда $v = \sqrt{2gh}$. Скорость шарика в конце спуска будет $v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2g(4h_1)} = 2\sqrt{2gh_1} = 2v_1$. То есть скорость увеличилась в 2 раза.

3. Если в обоих случаях шарик после спуска будет ударять по бруску, то во втором случае (когда скорость шарика в 2 раза больше) брусок переместится на расстояние примерно в 4 раза большее. Так как работа силы трения, остановившей брусок ($A_{тр} = F_{тр} \cdot s$), равна кинетической энергии, переданной ему шариком, то можно заключить, что энергия увеличилась в 4 раза.

Этот эксперимент наглядно демонстрирует, что при увеличении скорости в 2 раза кинетическая энергия увеличивается в 4 раза, что подтверждает квадратичную зависимость.

Ответ: Зависимость кинетической энергии от скорости тела подтверждается теоретическим выводом из второго закона Ньютона и определения работы, который приводит к формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Эта формула показывает, что кинетическая энергия прямо пропорциональна квадрату скорости ($E_k \propto v^2$). Это означает, что при изменении скорости в $n$ раз, кинетическая энергия изменяется в $n^2$ раз. Данная зависимость также подтверждается экспериментально.