Номер 2, страница 106 - гдз по физике 7 класс рабочая тетрадь Минькова, Иванова

Поскольку в задаче не приведены конкретные данные из лабораторной работы, в ответе будет представлен общий алгоритм расчета погрешностей на примере гипотетической лабораторной работы по определению плотности цилиндрического тела.

Погрешности измерений делятся на случайные и систематические. Систематические погрешности связаны с неточностью прибора (приборная погрешность) или неверной методикой. Случайные погрешности возникают из-за множества неконтролируемых факторов и проявляются в разбросе результатов при повторных измерениях.

Итоговый результат измерения физической величины $\text{X}$ записывается в виде $X = \bar{X} \pm \Delta X$, где $\bar{X}$ — среднее значение, а $\Delta X$ — полная абсолютная погрешность.

1. Расчет погрешностей прямых измерений

Прямое измерение — это непосредственное определение значения величины с помощью измерительного прибора. В нашем примере мы измеряем диаметр $\text{d}$ и высоту $\text{h}$ цилиндра с помощью штангенциркуля, а массу $\text{m}$ — с помощью электронных весов. Рассмотрим процедуру на примере измерения диаметра.

Пример: измерение диаметра $\text{d}$ цилиндра.

Дано:

Проведено 5 измерений диаметра: $d_1 = 20.4$ мм, $d_2 = 20.2$ мм, $d_3 = 20.5$ мм, $d_4 = 20.3$ мм, $d_5 = 20.4$ мм.

Измерения проводились штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм. Приборная погрешность ($\Delta d_{пр}$) принимается равной половине цены деления: $\Delta d_{пр} = 0.1 \text{ мм} / 2 = 0.05$ мм.

Найти:

Среднее значение диаметра $\bar{d}$, абсолютную погрешность $\Delta d$ и относительную погрешность $\epsilon_d$.

Решение:

1. Находим среднее значение измеренной величины (среднее арифметическое):

$\bar{d} = \frac{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5}{5} = \frac{20.4+20.2+20.5+20.3+20.4}{5} = \frac{101.8}{5} = 20.36$ мм.

2. Находим абсолютные отклонения каждого измерения от среднего значения: $|\Delta d_i| = |\bar{d} - d_i|$.

$|\Delta d_1| = |20.36 - 20.4| = 0.04$ мм

$|\Delta d_2| = |20.36 - 20.2| = 0.16$ мм

$|\Delta d_3| = |20.36 - 20.5| = 0.14$ мм

$|\Delta d_4| = |20.36 - 20.3| = 0.06$ мм

$|\Delta d_5| = |20.36 - 20.4| = 0.04$ мм

3. Вычисляем среднюю абсолютную погрешность, обусловленную случайными факторами (случайную погрешность):

$\Delta d_{случ} = \frac{\sum_{i=1}^{5} |\Delta d_i|}{5} = \frac{0.04+0.16+0.14+0.06+0.04}{5} = \frac{0.44}{5} = 0.088$ мм.

4. Находим полную абсолютную погрешность измерения. Для независимых случайной и приборной погрешностей полная погрешность находится методом квадратичного сложения:

$\Delta d = \sqrt{(\Delta d_{случ})^2 + (\Delta d_{пр})^2} = \sqrt{(0.088 \text{ мм})^2 + (0.05 \text{ мм})^2} = \sqrt{0.007744 + 0.0025} \text{ мм} = \sqrt{0.010244} \text{ мм} \approx 0.101$ мм.

5. Округляем погрешность. Абсолютную погрешность, как правило, округляют до одной значащей цифры (если первая цифра не 1 и не 2) или до двух.

$\Delta d \approx 0.1$ мм.

6. Округляем среднее значение так, чтобы его последний разряд соответствовал разряду погрешности.

$\bar{d} = 20.36$ мм. Погрешность $\Delta d = 0.1$ мм имеет разряд десятых. Значит, среднее значение нужно округлить до десятых: $\bar{d} \approx 20.4$ мм.

7. Записываем окончательный результат для диаметра:

$d = (20.4 \pm 0.1)$ мм.

8. Рассчитываем относительную погрешность:

$\epsilon_d = \frac{\Delta d}{|\bar{d}|} \cdot 100\% = \frac{0.1}{20.4} \cdot 100\% \approx 0.49\% \approx 0.5\%$.

Ответ: Абсолютная погрешность измерения диаметра $\Delta d = 0.1$ мм. Окончательный результат: $d = (20.4 \pm 0.1)$ мм. Относительная погрешность $\epsilon_d \approx 0.5\%$.

Аналогично проводятся расчеты для всех остальных прямых измерений. Предположим, что в результате мы получили:

$h = (35.1 \pm 0.2)$ мм, $\epsilon_h \approx 0.6\%$

$m = (85.40 \pm 0.05)$ г, $\epsilon_m \approx 0.06\%$

2. Расчет погрешностей косвенных измерений

Косвенное измерение — это определение значения величины по результатам прямых измерений других величин, связанных с искомой определенной зависимостью (формулой). В нашем примере искомая величина — плотность $\rho$.

Дано:

Результаты прямых измерений:

$d = (20.4 \pm 0.1)$ мм

$h = (35.1 \pm 0.2)$ мм

$m = (85.40 \pm 0.05)$ г

Формула для плотности цилиндра: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi \frac{d^2}{4} h} = \frac{4m}{\pi d^2 h}$.

Найти:

Среднее значение плотности $\bar{\rho}$ и её полную абсолютную погрешность $\Delta \rho$.

Решение:

1. Вычисляем среднее значение искомой величины, подставляя в формулу средние значения измеренных величин. Расчеты удобнее вести в одной системе единиц, например, г и мм.

$\bar{\rho} = \frac{4\bar{m}}{\pi \bar{d}^2 \bar{h}} = \frac{4 \cdot 85.40}{3.14159 \cdot (20.4)^2 \cdot 35.1} \approx \frac{341.6}{45950} \approx 0.007434$ г/мм³.

Переведем в более привычные единицы: $0.007434 \text{ г/мм}^3 = 7.434 \text{ г/см}^3 = 7434 \text{ кг/м}^3$.

2. Находим относительные погрешности прямых измерений (в долях).

$\epsilon_m = \frac{\Delta m}{\bar{m}} = \frac{0.05}{85.40} \approx 0.000585$

$\epsilon_d = \frac{\Delta d}{\bar{d}} = \frac{0.1}{20.4} \approx 0.00490$

$\epsilon_h = \frac{\Delta h}{\bar{h}} = \frac{0.2}{35.1} \approx 0.00570$

3. Находим относительную погрешность косвенного измерения. Для функции вида $F = k \cdot A^a \cdot B^b \cdot C^c$, относительная погрешность вычисляется по формуле:

$\epsilon_F = \sqrt{(a \cdot \epsilon_A)^2 + (b \cdot \epsilon_B)^2 + (c \cdot \epsilon_C)^2}$.

В нашем случае формула $\rho = \frac{4m}{\pi d^2 h} = (4/\pi) \cdot m^1 \cdot d^{-2} \cdot h^{-1}$.

Тогда относительная погрешность плотности:

$\epsilon_\rho = \sqrt{(\epsilon_m)^2 + (-2\epsilon_d)^2 + (-1\epsilon_h)^2} = \sqrt{\epsilon_m^2 + 4\epsilon_d^2 + \epsilon_h^2}$.

Подставляем значения:

$\epsilon_\rho = \sqrt{(0.000585)^2 + (2 \cdot 0.00490)^2 + (0.00570)^2} = \sqrt{0.00000034 + 0.00009604 + 0.00003249} = \sqrt{0.00012887} \approx 0.01135$.

В процентах: $\epsilon_\rho \approx 1.14\%$.

4. Находим абсолютную погрешность косвенного измерения:

$\Delta \rho = \epsilon_\rho \cdot \bar{\rho} = 0.01135 \cdot 7434 \text{ кг/м}^3 \approx 84.4$ кг/м³.

5. Округляем абсолютную погрешность до одной значащей цифры.

$\Delta \rho \approx 80$ кг/м³.

6. Округляем среднее значение до того же разряда, что и погрешность.

$\bar{\rho} = 7434$ кг/м³. Погрешность $\Delta \rho \approx 80$ кг/м³ имеет значащую цифру в разряде десятков. Значит, среднее значение нужно округлить до десятков.

$\bar{\rho} \approx 7430$ кг/м³.

7. Записываем окончательный результат для плотности.

$\rho = (7430 \pm 80)$ кг/м³. Можно записать в стандартном виде: $\rho = (7.43 \pm 0.08) \cdot 10^3$ кг/м³.

Ответ: Абсолютная погрешность измерения плотности $\Delta \rho \approx 80$ кг/м³. Окончательный результат: $\rho = (7430 \pm 80)$ кг/м³ или $\rho = (7.43 \pm 0.08) \cdot 10^3$ кг/м³. Относительная погрешность $\epsilon_\rho \approx 1.1\%$.