Номер 231, страница 87 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 231, страница 87.

Условие.

231. Цепь составлена из бесконечного числа ячеек состоящих из трех одинаковых резисторов (см. рисунок). Сопротивление каждого резистора 5 Ом. Найдите сопротивление этой бесконечной цепи.

Решение.

Дано:

Сопротивление каждого резистора $R = 5$ Ом.

Найти:

Эквивалентное сопротивление цепи $R_{экв}$ - ?

Решение:

Обозначим искомое сопротивление бесконечной цепи как $R_{экв}$. Поскольку цепь бесконечна, добавление или удаление одной ячейки в начале цепи не изменит ее общего сопротивления. Таким образом, сопротивление всей цепи без первой ячейки также равно $R_{экв}$.

Следовательно, всю цепь можно представить как эквивалентную схему, состоящую из первой ячейки, к которой подключена остальная часть цепи с сопротивлением $R_{экв}$.

Первая ячейка состоит из двух горизонтальных резисторов сопротивлением $\text{R}$ каждый и одного вертикального резистора сопротивлением $\text{R}$. Остальная часть цепи с сопротивлением $R_{экв}$ подключена параллельно первому вертикальному резистору. Найдем сопротивление этого параллельного участка $R_p$:

$R_p = \frac{R \cdot R_{экв}}{R + R_{экв}}$

Два горизонтальных резистора первой ячейки соединены последовательно с этим параллельным участком. Тогда общее сопротивление цепи равно:

$R_{экв} = R + R + R_p = 2R + \frac{R \cdot R_{экв}}{R + R_{экв}}$

Мы получили уравнение для нахождения $R_{экв}$. Преобразуем его в квадратное уравнение:

$R_{экв}(R + R_{экв}) = 2R(R + R_{экв}) + R \cdot R_{экв}$

$R \cdot R_{экв} + R_{экв}^2 = 2R^2 + 2R \cdot R_{экв} + R \cdot R_{экв}$

$R_{экв}^2 - 2R \cdot R_{экв} - 2R^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $R_{экв}$, используя формулу для корней:

$R_{экв} = \frac{-(-2R) \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2R^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}$

$R_{экв} = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2} = \frac{2R \pm 2R\sqrt{3}}{2} = R(1 \pm \sqrt{3})$

Поскольку сопротивление не может быть отрицательной величиной, а $1 - \sqrt{3} < 0$, мы выбираем корень со знаком плюс:

$R_{экв} = R(1 + \sqrt{3})$

Подставим известное значение $R = 5$ Ом:

$R_{экв} = 5(1 + \sqrt{3})$ Ом.

Ответ: $R_{экв} = 5(1 + \sqrt{3})$ Ом.