Номер 226, страница 85 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 226, страница 85.

Условие.

226. Определите общее сопротивление схемы, если $R = 8 \text{ Ом}$ (см. рисунок).

Решение.

Дано:

$R = 8 \text{ Ом}$

Найти:

$R_{общ}$ - общее сопротивление схемы.

Решение:

Для решения задачи представим электрическую схему в виде узлов и ветвей для применения метода узловых потенциалов. Проанализируем схему слева направо.

1. Левая часть схемы: Четыре резистора подключены к входной клемме. Верхние два резистора с сопротивлением $2R$ соединены параллельно, так как их левые и правые выводы подключены к одним и тем же точкам. Их эквивалентное сопротивление $R_{p1} = \frac{2R \cdot 2R}{2R + 2R} = R$. Таким образом, от входной клеммы (назовем ее узел А) отходят три ветви к трем горизонтальным линиям:

• Верхняя ветвь: эквивалентный резистор $\text{R}$ к узлу C.
• Средняя ветвь: резистор $\text{R}$ к узлу D.
• Нижняя ветвь: резистор $\text{R}$ к узлу E.

2. Средняя часть схемы: В каждой из трех горизонтальных линий установлен резистор с сопротивлением $\text{R}$.

• В верхней ветви: резистор $\text{R}$ между узлами C и F.
• В средней ветви: резистор $\text{R}$ между узлами D и G.
• В нижней ветви: резистор $\text{R}$ между узлами E и H.

3. Правая часть схемы: Эта часть соединяет горизонтальные линии между собой и с выходом.

• Узлы F и G соединены резистором $2R$.
• Узлы G и H соединены резистором $\text{R}$.
• Выходная клемма (назовем ее B) находится в конце нижней линии, то есть узел H является выходным узлом.

Примем потенциал входного узла A равным $V_A = V$, а потенциал выходного узла B (и, соответственно, узла H) равным нулю, $V_B = V_H = 0$. Найдем потенциалы в узлах C, D, E, F, G, используя законы Кирхгофа.

Запишем уравнения токов (первый закон Кирхгофа) для узлов C, D, E, F, G.

В ветвях A-C-F, A-D-G, A-E-H резисторы соединены последовательно попарно. Для этих узлов справедливо:

Для узла C: $\frac{V_A - V_C}{R} = \frac{V_C - V_F}{R} \implies V + V_F = 2V_C$ (1)

Для узла D: $\frac{V_A - V_D}{R} = \frac{V_D - V_G}{R} \implies V + V_G = 2V_D$ (2)

Для узла E: $\frac{V_A - V_E}{R} = \frac{V_E - V_H}{R} \implies V - V_E = V_E - 0 \implies V = 2V_E \implies V_E = \frac{V}{2}$ (3)

Теперь запишем уравнения для узлов F и G:

Для узла F: $\frac{V_C - V_F}{R} = \frac{V_F - V_G}{2R} \implies 2(V_C - V_F) = V_F - V_G \implies 2V_C + V_G = 3V_F$ (4)

Для узла G: $\frac{V_D - V_G}{R} + \frac{V_F - V_G}{2R} = \frac{V_G - V_H}{R}$. Умножим на $2R$ и учтем, что $V_H=0$:
$2(V_D - V_G) + (V_F - V_G) = 2V_G \implies 2V_D + V_F = 5V_G$ (5)

Решим полученную систему уравнений. Из (1) и (2) выразим $V_C$ и $V_D$:

$V_C = \frac{V + V_F}{2}$

$V_D = \frac{V + V_G}{2}$

Подставим $V_C$ в (4):

$2\left(\frac{V + V_F}{2}\right) + V_G = 3V_F \implies V + V_F + V_G = 3V_F \implies V + V_G = 2V_F \implies V_F = \frac{V + V_G}{2}$

Теперь подставим выражения для $V_D$ и $V_F$ в уравнение (5):

$2\left(\frac{V + V_G}{2}\right) + \frac{V + V_G}{2} = 5V_G$

$V + V_G + \frac{V + V_G}{2} = 5V_G$

Умножим обе части на 2:

$2V + 2V_G + V + V_G = 10V_G$

$3V + 3V_G = 10V_G$

$3V = 7V_G \implies V_G = \frac{3}{7}V$

Общий ток $I_{общ}$, входящий в схему, равен общему току, выходящему из нее. Весь ток выходит через узел H (B). Ток, выходящий из узла H, складывается из токов, приходящих в него из узлов E и G:

$I_{общ} = I_{EH} + I_{GH} = \frac{V_E - V_H}{R} + \frac{V_G - V_H}{R} = \frac{V_E}{R} + \frac{V_G}{R}$

Подставим найденные значения $V_E$ и $V_G$:

$I_{общ} = \frac{V/2}{R} + \frac{3V/7}{R} = \frac{V}{R} \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{7}\right) = \frac{V}{R} \left(\frac{7+6}{14}\right) = \frac{13V}{14R}$

Общее сопротивление схемы $R_{общ}$ равно отношению входного напряжения $\text{V}$ к общему току $I_{общ}$:

$R_{общ} = \frac{V}{I_{общ}} = \frac{V}{\frac{13V}{14R}} = \frac{14}{13}R$

Теперь подставим числовое значение $R = 8 \text{ Ом}$:

$R_{общ} = \frac{14}{13} \cdot 8 = \frac{112}{13} \approx 8.62 \text{ Ом}$

Ответ: $R_{общ} = \frac{112}{13} \text{ Ом} \approx 8.62 \text{ Ом}$.