Номер 227, страница 86 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 227, страница 86.

Условие.

227. Найдите общее сопротивление схемы, если $R = 5,5 \text{ Ом}$ (см. рисунок).

Решение.

Дано:

$R = 5,5 \text{ Ом}$

Все резисторы в схеме имеют одинаковое сопротивление $\text{R}$. Данные уже в системе СИ.

Найти:

$R_{общ}$ - общее сопротивление схемы.

Решение:

Для нахождения общего сопротивления схемы воспользуемся методом узловых потенциалов. Пронумеруем узлы схемы для удобства анализа. Пусть:

• A - верхний левый узел (вход)
• B - нижний левый узел (выход)
• C - верхний средний узел
• D - нижний средний узел
• E - верхний правый узел
• F - нижний правый узел

Приложим к входу A и выходу B напряжение $\text{U}$. Примем потенциал узла B равным нулю: $\phi_B = 0$. Тогда потенциал узла A будет равен $\text{U}$: $\phi_A = U$. Потенциалы остальных узлов обозначим $\phi_C, \phi_D, \phi_E, \phi_F$.

Запишем уравнения первого закона Кирхгофа (закона токов) для узлов C, D, E и F. Пусть $G = 1/R$ - проводимость каждого резистора.

Для узла C:

$G(\phi_C - \phi_A) + G(\phi_C - \phi_E) + G(\phi_C - \phi_D) = 0$

$3\phi_C - \phi_D - \phi_E = \phi_A = U$ (1)

Для узла D:

$G(\phi_D - \phi_B) + G(\phi_D - \phi_A) + G(\phi_D - \phi_C) + G(\phi_D - \phi_E) + G(\phi_D - \phi_F) = 0$

$-\phi_A - \phi_C + 5\phi_D - \phi_E - \phi_F = \phi_B = 0$

$-\phi_C + 5\phi_D - \phi_E - \phi_F = U$ (2)

Для узла E:

$G(\phi_E - \phi_C) + G(\phi_E - \phi_D) + G(\phi_E - \phi_F) = 0$

$-\phi_C - \phi_D + 3\phi_E - \phi_F = 0$ (3)

Для узла F:

$G(\phi_F - \phi_D) + G(\phi_F - \phi_E) = 0$

$-\phi_D - \phi_E + 2\phi_F = 0 \implies \phi_F = \frac{\phi_D + \phi_E}{2}$ (4)

Подставим выражение (4) в уравнения (2) и (3), чтобы исключить $\phi_F$.

Из (3): $-\phi_C - \phi_D + 3\phi_E - \frac{\phi_D + \phi_E}{2} = 0 \implies -2\phi_C - 2\phi_D + 6\phi_E - \phi_D - \phi_E = 0$

$-2\phi_C - 3\phi_D + 5\phi_E = 0$ (5)

Из (2): $-\phi_C + 5\phi_D - \phi_E - \frac{\phi_D + \phi_E}{2} = U \implies -2\phi_C + 10\phi_D - 2\phi_E - \phi_D - \phi_E = 2U$

$-2\phi_C + 9\phi_D - 3\phi_E = 2U$ (6)

Теперь имеем систему из трех линейных уравнений (1), (5), (6) с тремя неизвестными $\phi_C, \phi_D, \phi_E$:

$\begin{cases} 3\phi_C - \phi_D - \phi_E = U \\ -2\phi_C - 3\phi_D + 5\phi_E = 0 \\ -2\phi_C + 9\phi_D - 3\phi_E = 2U \end{cases}$

Решая эту систему (например, методом подстановки или Крамера), находим значения потенциалов. Нам нужны $\phi_C$ и $\phi_D$ для вычисления общего тока.

$\phi_C = \frac{13}{17}U$

$\phi_D = \frac{21}{34}U$

Общий ток $I_{общ}$, входящий в узел A, равен сумме токов через резисторы, подключенные к этому узлу:

$I_{общ} = I_{AB} + I_{AC} + I_{AD} = \frac{\phi_A - \phi_B}{R} + \frac{\phi_A - \phi_C}{R} + \frac{\phi_A - \phi_D}{R}$

$I_{общ} = \frac{1}{R}( (U-0) + (U - \phi_C) + (U - \phi_D) ) = \frac{1}{R}(3U - \phi_C - \phi_D)$

Подставим найденные значения потенциалов:

$I_{общ} = \frac{1}{R}(3U - \frac{13}{17}U - \frac{21}{34}U) = \frac{U}{R}(3 - \frac{26}{34} - \frac{21}{34})$

$I_{общ} = \frac{U}{R}(\frac{102 - 26 - 21}{34}) = \frac{U}{R}(\frac{55}{34})$

Общее сопротивление схемы $R_{общ}$ находится по закону Ома:

$R_{общ} = \frac{U}{I_{общ}} = \frac{U}{\frac{U}{R}\frac{55}{34}} = R \cdot \frac{34}{55}$

Теперь подставим числовое значение сопротивления $\text{R}$:

$R_{общ} = 5,5 \cdot \frac{34}{55} = \frac{55}{10} \cdot \frac{34}{55} = \frac{34}{10} = 3,4 \text{ Ом}$

Ответ: $R_{общ} = 3,4 \text{ Ом}$.