Номер 222, страница 84 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 222, страница 84.

Условие.

222. Определите общее сопротивление схемы, если сопротивление каждого резистора $R = 3 \text{ Ом}$ (см. рисунок).

Решение.

Дано:

Сопротивление каждого резистора $R = 3$ Ом.

Найти:

Общее сопротивление схемы $R_{общ}$.

Решение:

Для удобства анализа обозначим узлы схемы. Пусть входные клеммы (узлы) слева будут A (верхняя) и B (нижняя). Правые узлы обозначим как C (верхний) и D (нижний).

Схема состоит из пяти резисторов, сопротивление каждого из которых равно $\text{R}$.

Резистор, расположенный вертикально слева (между узлами A и B), подключен непосредственно между входными клеммами. Обозначим его сопротивление как $R_{AB}$. Он подключен параллельно всей остальной части схемы.

Найдем эквивалентное сопротивление оставшейся части схемы ($R_{ост}$), которая также подключена между узлами A и B. Эта часть состоит из четырех резисторов: верхнего ($R_{AC}$), правого вертикального ($R_{CD}$), нижнего ($R_{BD}$) и диагонального ($R_{AD}$).

Рассмотрим путь тока от узла A к узлу D в этой части схемы. Существуют два параллельных пути:

1. Первый путь проходит через диагональный резистор $R_{AD}$. Его сопротивление равно $\text{R}$.

2. Второй путь проходит через последовательно соединенные резисторы $R_{AC}$ и $R_{CD}$. Их общее сопротивление $R_{ACD}$ составляет $R_{AC} + R_{CD} = R + R = 2R$.

Эквивалентное сопротивление между узлами A и D ($R_{экв, AD}$) найдем по формуле для параллельного соединения:

$R_{экв, AD} = \frac{R_{AD} \cdot R_{ACD}}{R_{AD} + R_{ACD}} = \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2R}{3}$

Этот участок с эквивалентным сопротивлением $R_{экв, AD}$ соединен последовательно с нижним резистором $R_{BD}$, который находится между узлами D и B.

Следовательно, общее сопротивление оставшейся части схемы $R_{ост}$ равно:

$R_{ост} = R_{экв, AD} + R_{BD} = \frac{2R}{3} + R = \frac{2R + 3R}{3} = \frac{5R}{3}$

Теперь мы можем найти общее сопротивление всей схемы $R_{общ}$, которое представляет собой параллельное соединение резистора $R_{AB}$ (с сопротивлением $\text{R}$) и оставшейся части схемы $R_{ост}$.

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{ост}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{\frac{5R}{3}} = \frac{1}{R} + \frac{3}{5R} = \frac{5 + 3}{5R} = \frac{8}{5R}$

Отсюда, общее сопротивление схемы:

$R_{общ} = \frac{5R}{8}$

Подставим числовое значение $R = 3$ Ом в полученную формулу:

$R_{общ} = \frac{5 \cdot 3}{8} = \frac{15}{8} = 1.875$ Ом.

Ответ: $R_{общ} = 1.875$ Ом.