Номер 218, страница 83 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 218, страница 83.

Условие.

218. Какое минимальное количество резисторов с сопротивлением по $20 \text{ Ом}$ каждый следует взять и как их соединить, чтобы получить цепь сопротивлением $15 \text{ Ом}$?

Решение.

Дано:

Сопротивление одного резистора $R_0 = 20 \text{ Ом}$

Требуемое общее сопротивление цепи $R_{общ} = 15 \text{ Ом}$

Найти:

Минимальное количество резисторов $N_{min}$ и способ их соединения.

Решение:

Поскольку требуемое сопротивление $R_{общ} = 15 \text{ Ом}$ меньше, чем сопротивление одного резистора $R_0 = 20 \text{ Ом}$, в схеме обязательно должно присутствовать параллельное соединение. Чисто последовательное соединение нескольких резисторов даст сопротивление, кратное 20 Ом и больше 20 Ом.

Рассмотрим минимально возможное количество резисторов $\text{N}$ для получения нужного сопротивления.

1. Если $N=1$, то сопротивление цепи равно $R_0 = 20 \text{ Ом}$, что не удовлетворяет условию.

2. Если $N=2$:

- При последовательном соединении: $R_{общ} = R_0 + R_0 = 2 \cdot 20 = 40 \text{ Ом}$.

- При параллельном соединении: $R_{общ} = \frac{R_0}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ Ом}$.

Оба варианта не дают 15 Ом.

3. Если $N=3$:

- Все три последовательно: $R_{общ} = 3 \cdot R_0 = 60 \text{ Ом}$.

- Все три параллельно: $R_{общ} = \frac{R_0}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ Ом}$.

- Смешанное соединение (два последовательно, и эта группа параллельно с третьим): сопротивление группы из двух последовательных резисторов $R_{1,2} = R_0 + R_0 = 40 \text{ Ом}$. Общее сопротивление цепи: $R_{общ} = \frac{R_{1,2} \cdot R_0}{R_{1,2} + R_0} = \frac{40 \cdot 20}{40 + 20} = \frac{800}{60} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \text{ Ом}$.

- Смешанное соединение (два параллельно, и эта группа последовательно с третьим): сопротивление группы из двух параллельных резисторов $R_{1,2} = \frac{R_0}{2} = 10 \text{ Ом}$. Общее сопротивление цепи: $R_{общ} = R_{1,2} + R_0 = 10 + 20 = 30 \text{ Ом}$.

Ни один из вариантов с тремя резисторами не дает 15 Ом.

4. Если $N=4$:

Рассмотрим схему, состоящую из двух параллельных ветвей. Пусть сопротивление одной ветви будет $R_1$, а второй $R_2$. Тогда общее сопротивление $\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.

Подставим известные значения: $\frac{1}{15} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.

Предположим, что одна из ветвей состоит из одного резистора, то есть $R_1 = R_0 = 20 \text{ Ом}$. Найдем, каким должно быть сопротивление второй ветви $R_2$:

$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{15} - \frac{1}{R_1} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4 - 3}{60} = \frac{1}{60}$

Отсюда $R_2 = 60 \text{ Ом}$.

Сопротивление 60 Ом можно получить, соединив последовательно три резистора по 20 Ом: $R_2 = R_0 + R_0 + R_0 = 20 + 20 + 20 = 60 \text{ Ом}$.

Таким образом, мы получили искомую схему: одна ветвь состоит из одного резистора (20 Ом), а вторая, параллельная ей, ветвь состоит из трех последовательно соединенных резисторов (60 Ом). Общее количество использованных резисторов: $1 + 3 = 4$.

Поскольку мы показали, что с помощью 1, 2 или 3 резисторов получить сопротивление 15 Ом невозможно, то минимальное количество резисторов равно 4.

Ответ: Минимальное количество резисторов - 4. Для получения цепи с сопротивлением 15 Ом необходимо соединить три резистора последовательно, а затем подключить эту группу параллельно четвертому резистору.