Номер 224, страница 85 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 224, страница 85.

Условие.

224. Четыре проводника соединены по схеме, приведенной на рисунке. Определите общее сопротивление схемы между точками A и B, если $R_1 = 1 \text{ Ом}$, $R_2 = 5 \text{ Ом}$, $R_3 = 6 \text{ Ом}$, $R_4 = 2 \text{ Ом}$, $R_5 = 4 \text{ Ом}$.

Решение.

Дано:

$R_1 = 1$ Ом

$R_2 = 5$ Ом

$R_3 = 6$ Ом

$R_4 = 2$ Ом

$R_5 = 4$ Ом

Найти:

$R_{общ}$ - общее сопротивление схемы между точками A и B.

Решение:

Представленная схема является мостовой схемой (мост Уитстона). Прежде всего, проверим, является ли мост сбалансированным. Условие баланса моста:

$\frac{R_1}{R_4} = \frac{R_2}{R_5}$

Подставим числовые значения:

$\frac{1}{2} = 0.5$

$\frac{5}{4} = 1.25$

Поскольку $0.5 \ne 1.25$, мост не является сбалансированным. Это означает, что через резистор $R_3$ протекает ток, и его нельзя просто исключить из схемы. Для расчета общего сопротивления такой схемы необходимо использовать метод преобразования "треугольник-звезда" (Δ-Y).

Обозначим узлы схемы: узел между резисторами $R_1$, $R_2$ и $R_3$ назовем C, а узел между $R_3$, $R_4$ и $R_5$ назовем D. Резисторы $R_1$, $R_4$ и $R_3$ образуют соединение "треугольник" с вершинами в узлах A, C, D. Преобразуем этот треугольник в эквивалентное соединение "звезда" с новым центральным узлом N и лучами $R_{AN}$, $R_{CN}$, $R_{DN}$.

Сопротивления лучей звезды рассчитываются по формулам:

$R_{AN} = \frac{R_1 \cdot R_4}{R_1 + R_4 + R_3}$

$R_{CN} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_4 + R_3}$

$R_{DN} = \frac{R_4 \cdot R_3}{R_1 + R_4 + R_3}$

Найдем сумму сопротивлений в знаменателе:

$R_1 + R_4 + R_3 = 1 + 2 + 6 = 9$ Ом

Теперь рассчитаем сопротивления лучей звезды:

$R_{AN} = \frac{1 \cdot 2}{9} = \frac{2}{9}$ Ом

$R_{CN} = \frac{1 \cdot 6}{9} = \frac{2}{3}$ Ом

$R_{DN} = \frac{2 \cdot 6}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ Ом

Теперь заменим в исходной схеме треугольник ACD на полученную звезду. Эквивалентная схема будет выглядеть следующим образом: резистор $R_{AN}$ соединен с точкой A. К новому узлу N подключены две параллельные ветви, которые затем соединяются в точке B.

• Первая (верхняя) ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_{CN}$ и $R_2$.
• Вторая (нижняя) ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_{DN}$ и $R_5$.

Найдем сопротивление верхней ветви $R_{верх}$:

$R_{верх} = R_{CN} + R_2 = \frac{2}{3} + 5 = \frac{2}{3} + \frac{15}{3} = \frac{17}{3}$ Ом

Найдем сопротивление нижней ветви $R_{низ}$:

$R_{низ} = R_{DN} + R_5 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$ Ом

Теперь найдем общее сопротивление двух параллельных ветвей $R_{паралл}$:

$R_{паралл} = \frac{R_{верх} \cdot R_{низ}}{R_{верх} + R_{низ}} = \frac{\frac{17}{3} \cdot \frac{16}{3}}{\frac{17}{3} + \frac{16}{3}} = \frac{\frac{272}{9}}{\frac{33}{3}} = \frac{272}{9} \cdot \frac{3}{33} = \frac{272}{3 \cdot 33} = \frac{272}{99}$ Ом

Общее сопротивление всей схемы $R_{общ}$ равно сумме сопротивления $R_{AN}$ и сопротивления параллельного участка $R_{паралл}$, так как они соединены последовательно.

$R_{общ} = R_{AN} + R_{паралл} = \frac{2}{9} + \frac{272}{99}$

Приведем к общему знаменателю 99:

$R_{общ} = \frac{2 \cdot 11}{9 \cdot 11} + \frac{272}{99} = \frac{22}{99} + \frac{272}{99} = \frac{22 + 272}{99} = \frac{294}{99}$ Ом

Сократим полученную дробь на 3:

$R_{общ} = \frac{294 \div 3}{99 \div 3} = \frac{98}{33}$ Ом

Ответ: $R_{общ} = \frac{98}{33}$ Ом (приблизительно 2.97 Ом).