Номер 220, страница 84 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 220, страница 84.

Условие.

220. Цепь собрана из шести одинаковых резисторов сопротивлением $R = 21 \text{ Ом}$ каждый (см. рисунок). Найдите общее сопротивление цепи.

Решение.

Дано:

Цепь состоит из шести одинаковых резисторов.

Сопротивление каждого резистора $R = 21 \text{ Ом}$.

Найти:

Общее сопротивление цепи $R_{общ}$.

Решение:

Для нахождения общего сопротивления цепи, проанализируем ее структуру и упростим ее шаг за шагом. Схема состоит из двух входных резисторов (верхнего и нижнего), которые соединены с центральной частью.

Центральная часть схемы, в свою очередь, состоит из четырех резисторов. Можно заметить, что между двумя центральными узлами (точками соединения входных резисторов с центральной частью) существует два параллельных пути.

Первый путь — это один вертикальный резистор с сопротивлением $\text{R}$.

Второй путь — это цепь из трех последовательно соединенных резисторов (горизонтальный, затем вертикальный, затем еще один горизонтальный). Сопротивление этой последовательной цепи, назовем его $R_{посл}$, равно сумме сопротивлений составляющих ее резисторов:

$R_{посл} = R + R + R = 3R$

Эти два пути (один резистор $\text{R}$ и цепь $R_{посл}$) соединены параллельно. Найдем их эквивалентное сопротивление, которое обозначим как $R_{центр}$. При параллельном соединении проводимости (величины, обратные сопротивлению) складываются:

$\frac{1}{R_{центр}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_{посл}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{3R} = \frac{3}{3R} + \frac{1}{3R} = \frac{4}{3R}$

Отсюда, эквивалентное сопротивление центральной части равно:

$R_{центр} = \frac{3R}{4}$

Теперь всю исходную цепь можно представить как последовательное соединение трех участков: верхнего входного резистора $\text{R}$, эквивалентного сопротивления центральной части $R_{центр}$, и нижнего входного резистора $\text{R}$.

Общее сопротивление цепи $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений этих последовательно соединенных участков:

$R_{общ} = R + R_{центр} + R = 2R + \frac{3R}{4}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$R_{общ} = \frac{8R}{4} + \frac{3R}{4} = \frac{11R}{4}$

Теперь подставим заданное в условии значение $R = 21 \text{ Ом}$ в полученную формулу для расчета числового значения общего сопротивления:

$R_{общ} = \frac{11 \cdot 21}{4} = \frac{231}{4} = 57.75 \text{ Ом}$

Ответ: $57.75 \text{ Ом}$.