Номер 217, страница 83 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 217, страница 83.

Условие.

217. Из одинаковых резисторов по 10 Ом требуется составить цепь сопротивлением 6 Ом. Какое наименьшее количество резисторов для этого потребуется? Нарисуйте схему электрической цепи.

Решение.

Дано:

Сопротивление каждого резистора, $R = 10 \text{ Ом}$

Требуемое общее сопротивление цепи, $R_{общ} = 6 \text{ Ом}$

Найти:

Наименьшее количество резисторов $N_{min}$ и схему цепи.

Решение:

Поскольку требуемое общее сопротивление $R_{общ} = 6 \text{ Ом}$ меньше сопротивления одного резистора $R = 10 \text{ Ом}$, в цепи обязательно должны быть параллельно соединенные участки, так как параллельное соединение уменьшает общее сопротивление.

Проверим варианты с наименьшим возможным числом резисторов.

1. Два резистора ($N=2$). При последовательном соединении сопротивление будет $R+R=20 \text{ Ом}$, а при параллельном — $\frac{R}{2}=5 \text{ Ом}$. Ни один из вариантов не подходит.

2. Три резистора ($N=3$). Возможные комбинации:
- все последовательно: $3R = 30 \text{ Ом}$;
- все параллельно: $\frac{R}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ Ом}$;
- два параллельно, один последовательно: $\frac{R}{2} + R = 5 + 10 = 15 \text{ Ом}$;
- два последовательно, один параллельно: $\frac{2R \cdot R}{2R + R} = \frac{20 \cdot 10}{30} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ Ом}$.
Ни один из вариантов не дает сопротивление 6 Ом.

3. Четыре резистора ($N=4$). Попробуем составить цепь из двух параллельных ветвей, A и B. Общее сопротивление в этом случае рассчитывается по формуле $R_{общ} = \frac{R_A \cdot R_B}{R_A + R_B}$. Пусть сопротивление одной ветви $R_A$ равно сопротивлению одного резистора, $R_A = 10 \text{ Ом}$. Найдем требуемое сопротивление второй ветви $R_B$:
$6 = \frac{10 \cdot R_B}{10 + R_B}$
$6(10 + R_B) = 10 R_B$
$60 + 6R_B = 10 R_B$
$4R_B = 60$
$R_B = 15 \text{ Ом}$
Теперь необходимо из оставшихся трех резисторов собрать ветвь с сопротивлением 15 Ом. Этого можно достичь, соединив один резистор последовательно с двумя, соединенными параллельно:
$R_B = R + \frac{R \cdot R}{R+R} = 10 + \frac{10 \cdot 10}{10+10} = 10 + 5 = 15 \text{ Ом}$.

Таким образом, найдена конфигурация из 4 резисторов, дающая требуемое сопротивление. Поскольку мы показали, что 2 и 3 резистора недостаточно, то 4 является наименьшим необходимым количеством.

Итоговая схема представляет собой один резистор $R_1$, соединенный параллельно с ветвью, состоящей из резистора $R_2$, соединенного последовательно с блоком из двух параллельных резисторов $R_3$ и $R_4$.

Ответ:

Наименьшее количество резисторов для этого потребуется: 4.

Схема электрической цепи: