Номер 225, страница 85 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 225, страница 85.

Условие.

225. Найдите электрическое сопротивление цепи, если $R = 4 \text{ Ом }$ (см. рисунок).

Решение.

Дано:

$R = 4 \text{ Ом}$

Найти:

$R_{\text{общ}}$ - ?

Решение:

Представленная на рисунке схема является мостовой электрической цепью. Для нахождения общего сопротивления такой цепи необходимо уточнить состояние выходных клемм (справа). В подобных задачах, если не указано иное, часто предполагается, что выходные клеммы замкнуты накоротко, чтобы задача не сводилась к тривиальному случаю с разомкнутой цепью. При таком допущении мы будем искать входное сопротивление цепи между клеммами слева.

Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. Обозначим узлы схемы:

• $\text{A}$ - верхняя левая клемма
• $\text{B}$ - нижняя левая клемма
• $\text{C}$ - верхний средний узел
• $\text{D}$ - нижний средний узел
• $\text{E}$ - общий узел, образованный короткозамкнутыми правыми клеммами

Из схемы видно, что узел $\text{A}$ соединен с узлом $\text{C}$ проводником, поэтому их потенциалы равны: $\phi_A = \phi_C$.

Примем потенциал нижней клеммы $\text{B}$ равным нулю: $\phi_B = 0$. Подадим на вход (между клеммами $\text{A}$ и $\text{B}$) напряжение $\text{U}$, тогда потенциал верхней клеммы будет $\phi_A = U$, и, следовательно, $\phi_C = U$. Потенциалы узлов $\text{D}$ и $\text{E}$ ($\phi_D$ и $\phi_E$) нам неизвестны.

Составим уравнения на основе первого правила Кирхгофа (закона токов) для узлов $\text{D}$ и $\text{E}$. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него (или алгебраическая сумма токов в узле равна нулю).

Для узла $\text{D}$:

$\frac{\phi_C - \phi_D}{R} + \frac{\phi_B - \phi_D}{R} + \frac{\phi_E - \phi_D}{R/2} = 0$

Подставим известные значения потенциалов:

$\frac{U - \phi_D}{R} + \frac{0 - \phi_D}{R} + \frac{2(\phi_E - \phi_D)}{R} = 0$

Умножим обе части уравнения на $\text{R}$:

$U - \phi_D - \phi_D + 2\phi_E - 2\phi_D = 0$

$U + 2\phi_E - 4\phi_D = 0 \implies 4\phi_D - 2\phi_E = U$ (1)

Для узла $\text{E}$:

$\frac{\phi_C - \phi_E}{R} + \frac{\phi_D - \phi_E}{R/2} = 0$

Подставим известные значения:

$\frac{U - \phi_E}{R} + \frac{2(\phi_D - \phi_E)}{R} = 0$

Умножим обе части уравнения на $\text{R}$:

$U - \phi_E + 2\phi_D - 2\phi_E = 0$

$U + 2\phi_D - 3\phi_E = 0 \implies 3\phi_E - 2\phi_D = U$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\phi_D$ и $\phi_E$:

$\begin{cases} 4\phi_D - 2\phi_E = U \\ -2\phi_D + 3\phi_E = U \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым:

$(4\phi_D - 2\phi_E) + (-4\phi_D + 6\phi_E) = U + 2U$

$4\phi_E = 3U \implies \phi_E = \frac{3}{4}U$

Подставим значение $\phi_E$ в первое уравнение, чтобы найти $\phi_D$:

$4\phi_D - 2(\frac{3}{4}U) = U$

$4\phi_D - \frac{3}{2}U = U$

$4\phi_D = U + \frac{3}{2}U = \frac{5}{2}U$

$\phi_D = \frac{5}{8}U$

Теперь найдем общий ток $I_{\text{общ}}$, который втекает в схему через клемму $\text{A}$ (узел $\text{C}$). Этот ток разветвляется на два: ток через резистор между узлами $\text{C}$ и $\text{D}$ ($I_{CD}$) и ток через резистор между узлами $\text{C}$ и $\text{E}$ ($I_{CE}$).

$I_{\text{общ}} = I_{CD} + I_{CE} = \frac{\phi_C - \phi_D}{R} + \frac{\phi_C - \phi_E}{R}$

$I_{\text{общ}} = \frac{U - \frac{5}{8}U}{R} + \frac{U - \frac{3}{4}U}{R} = \frac{\frac{3}{8}U}{R} + \frac{\frac{1}{4}U}{R}$

$I_{\text{общ}} = (\frac{3}{8} + \frac{2}{8})\frac{U}{R} = \frac{5}{8}\frac{U}{R}$

Общее сопротивление цепи $R_{\text{общ}}$ равно отношению входного напряжения $\text{U}$ к общему току $I_{\text{общ}}$:

$R_{\text{общ}} = \frac{U}{I_{\text{общ}}} = \frac{U}{\frac{5U}{8R}} = \frac{8R}{5}$

Подставим численное значение $R=4$ Ом:

$R_{\text{общ}} = \frac{8 \times 4}{5} = \frac{32}{5} = 6.4 \text{ Ом}$

Ответ: $R_{\text{общ}} = 6.4 \text{ Ом}$.