Номер 230, страница 87 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 230, страница 87.

Условие.

230. Определите сопротивление проволочных каркасов между точками A и B, если сопротивление одного звена $6 \text{ Ом}$ (см. рисунок).

Решение.

Дано:

Сопротивление одного звена (ребра каркаса) $R = 6 \text{ Ом}$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление $R_{AB}$ между точками А и В для каждого из трех случаев (а, б, в).

Решение:

а)

Рассмотрим схему (а). Она обладает двумя видами симметрии. Воспользуемся симметрией относительно 180-градусного поворота вокруг центрального узла (обозначим его С). Если приложить напряжение между точками А и В, так что потенциал точки А равен $\phi_A = U/2$, а потенциал точки В равен $\phi_B = -U/2$, то из-за симметрии потенциал центрального узла C должен быть равен нулю ($\phi_C = 0$).

Также в силу симметрии относительно горизонтальной оси, проходящей через точки A и B, и указанной выше поворотной симметрии, потенциалы узлов на центральной вертикальной оси также будут равны нулю. Обозначим узел над C как TC, а под C как BC. Тогда $\phi_C = \phi_{TC} = \phi_{BC} = 0$.

Это означает, что вся центральная вертикальная линия является эквипотенциальной. Ток через резисторы, соединяющие эти узлы (TC-C и BC-C), не течет, но это не позволяет их удалить. Правильнее рассматривать задачу как нахождение сопротивления от точки А до этой нулевой линии ($R_{A0}$) и от точки В до нулевой линии ($R_{B0}$). Общее сопротивление будет их суммой: $R_{AB} = R_{A0} + R_{B0}$.

В силу симметрии $R_{A0} = R_{B0}$. Найдем $R_{A0}$. Для этого мысленно заземлим центральную вертикаль (узлы TC, C, BC). Ток от точки А течет к этой земле по трем параллельным путям:

1. Через резистор А-С. Сопротивление $\text{R}$.
2. Через резисторы А-TL и TL-TC (где TL - левый верхний узел). Сопротивление $R+R=2R$.
3. Через резисторы А-BL и BL-BC (где BL - левый нижний узел). Сопротивление $R+R=2R$.

Эквивалентное сопротивление $R_{A0}$ этих трех параллельных ветвей равно:

$\frac{1}{R_{A0}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$

Отсюда $R_{A0} = \frac{R}{2}$.

Тогда полное сопротивление $R_{AB} = 2 \cdot R_{A0} = 2 \cdot \frac{R}{2} = R$.

$R_{AB} = 6 \text{ Ом}$.

Ответ: 6 Ом.

б)

В схеме (б) точки А и В расположены на диагонали. Эта схема также обладает симметрией относительно поворота на 180° вокруг центрального узла C. Если задать потенциалы $\phi_A = U/2$ и $\phi_B = -U/2$, то потенциал центрального узла $\phi_C = 0$.

Остальные узлы не имеют нулевого потенциала. Решим задачу методом узловых потенциалов, пронумеровав узлы как на телефонной клавиатуре:

7 8 9(B)
4 5(C) 6
1(A) 2 3

Из-за поворотной симметрии имеем следующие соотношения для потенциалов: $\phi_5 = 0$, $\phi_2 = -\phi_8$, $\phi_4 = -\phi_6$, $\phi_3 = -\phi_7$.

Запишем уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2, 4, 7 (для остальных они будут симметричны). Пусть сопротивление каждого звена $R=1$ для удобства, а в конце умножим результат на $\text{R}$.

• Узел 2: $(\phi_2 - \phi_1) + (\phi_2 - \phi_3) + (\phi_2 - \phi_5) = 0 \Rightarrow 3\phi_2 - \phi_1 - \phi_3 = 0$
• Узел 4: $(\phi_4 - \phi_1) + (\phi_4 - \phi_5) + (\phi_4 - \phi_7) = 0 \Rightarrow 3\phi_4 - \phi_1 - \phi_7 = 0$
• Узел 7: $(\phi_7 - \phi_4) + (\phi_7 - \phi_8) = 0 \Rightarrow 2\phi_7 - \phi_4 - \phi_8 = 0$

Подставим симметричные потенциалы: $\phi_3 = -\phi_7$ и $\phi_8 = -\phi_2$.

• $3\phi_2 - \phi_1 + \phi_7 = 0$ (1)
• $3\phi_4 - \phi_1 - \phi_7 = 0$ (2)
• $2\phi_7 - \phi_4 + \phi_2 = 0$ (3)

Из (1) и (2) следует, что $3\phi_2 + \phi_7 = 3\phi_4 - \phi_7 \Rightarrow 3(\phi_2-\phi_4) = -2\phi_7$.
Из (2) $\phi_7 = 3\phi_4 - \phi_1$. Подставим в (3): $2(3\phi_4 - \phi_1) - \phi_4 + \phi_2 = 0 \Rightarrow 5\phi_4 + \phi_2 = 2\phi_1$.
Подставим $\phi_7$ в (1): $3\phi_2 + 3\phi_4 - \phi_1 = 0 \Rightarrow \phi_2 = (\phi_1 - 3\phi_4)/3$.
Подставим это в предыдущее уравнение: $5\phi_4 + (\phi_1 - 3\phi_4)/3 = 2\phi_1 \Rightarrow 15\phi_4 + \phi_1 - 3\phi_4 = 6\phi_1 \Rightarrow 12\phi_4 = 5\phi_1 \Rightarrow \phi_4 = \frac{5}{12}\phi_1$.
Тогда $\phi_2 = (\phi_1 - 3 \cdot \frac{5}{12}\phi_1)/3 = (\phi_1 - \frac{5}{4}\phi_1)/3 = (-\frac{1}{4}\phi_1)/3 = -\frac{1}{12}\phi_1$.

Входящий в схему ток $I_{AB}$ из точки А: $I_{AB} = I_{1 \t°2} + I_{1 \t°4} = \frac{\phi_1 - \phi_2}{R} + \frac{\phi_1 - \phi_4}{R}$.

$I_{AB} = \frac{\phi_1 - (-\frac{1}{12}\phi_1)}{R} + \frac{\phi_1 - \frac{5}{12}\phi_1}{R} = \frac{\frac{13}{12}\phi_1 + \frac{7}{12}\phi_1}{R} = \frac{\frac{20}{12}\phi_1}{R} = \frac{5}{3}\frac{\phi_1}{R}$.

Полное напряжение между А и В: $U_{AB} = \phi_A - \phi_B = \phi_1 - \phi_9 = \phi_1 - (-\phi_1) = 2\phi_1$.

Эквивалентное сопротивление: $R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I_{AB}} = \frac{2\phi_1}{\frac{5}{3}\frac{\phi_1}{R}} = \frac{6}{5}R$.

Проверим решение, т.к. этот результат не является общеизвестным. Перерешаем систему уравнений.Сложение (1) и (2): $3\phi_2+3\phi_4 - 2\phi_1=0 \implies \phi_2+\phi_4=\frac{2}{3}\phi_1$.Из (3): $\phi_4=2\phi_7+\phi_2$. Подставляем: $\phi_2+(2\phi_7+\phi_2)=\frac{2}{3}\phi_1 \implies 2\phi_2+2\phi_7=\frac{2}{3}\phi_1 \implies \phi_2+\phi_7=\frac{1}{3}\phi_1$.Из (1) $3\phi_2+\phi_7=\phi_1$. Вычитая из этого предыдущее: $2\phi_2 = \phi_1-\frac{1}{3}\phi_1 = \frac{2}{3}\phi_1 \implies \phi_2=\frac{1}{3}\phi_1$.Тогда $\phi_7 = \frac{1}{3}\phi_1-\phi_2 = 0$. И $\phi_4=\frac{2}{3}\phi_1-\phi_2 = \frac{1}{3}\phi_1$.Это решение ($ \phi_2=\phi_4=\frac{1}{3}\phi_1, \phi_7=0 $) удовлетворяет всем уравнениям.Ток из А: $I_{AB} = \frac{\phi_1-\phi_2}{R} + \frac{\phi_1-\phi_4}{R} = \frac{\phi_1-\frac{1}{3}\phi_1}{R} + \frac{\phi_1-\frac{1}{3}\phi_1}{R} = \frac{\frac{2}{3}\phi_1}{R} + \frac{\frac{2}{3}\phi_1}{R} = \frac{4}{3}\frac{\phi_1}{R}$.$R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I_{AB}} = \frac{2\phi_1}{\frac{4}{3}\frac{\phi_1}{R}} = \frac{2 \cdot 3}{4}R = \frac{3}{2}R$.$R_{AB} = \frac{3}{2} \cdot 6 \text{ Ом} = 9 \text{ Ом}$.

Ответ: 9 Ом.

в)

Рассмотрим каркас в виде куба, где А и В — противоположные вершины (пространственная диагональ). Эта задача решается с помощью симметрии.

Пусть в вершину А втекает ток $\text{I}$, а из вершины В вытекает.От вершины А отходят три ребра. В силу симметрии куба относительно диагонали АВ, ток $\text{I}$ разделится поровну между этими тремя ребрами, т.е. по $I/3$ в каждом. Это означает, что три вершины, соединенные с А, имеют одинаковый потенциал. Обозначим эту группу вершин $G_1$.

С другой стороны, в вершину В ток втекает из трех смежных вершин. По симметрии, токи в этих трех ребрах должны быть одинаковы (по $I/3$), а значит, эти три вершины также имеют одинаковый потенциал. Обозначим эту группу вершин $G_2$.

Таким образом, все вершины куба можно разбить на четыре группы с одинаковым потенциалом:

• Вершина А.
• Группа $G_1$: 3 вершины, смежные с А.
• Группа $G_2$: 3 вершины, смежные с В.
• Вершина В.

Теперь можно представить эквивалентную схему:

1. От А к группе $G_1$ идут 3 параллельно соединенных резистора. Их общее сопротивление $R_1 = R/3$.
2. От группы $G_1$ к группе $G_2$ идут 6 ребер куба. Все они соединяют точки с одинаковой разностью потенциалов, значит, они соединены параллельно. Их общее сопротивление $R_2 = R/6$.
3. От группы $G_2$ к В идут 3 параллельно соединенных резистора. Их общее сопротивление $R_3 = R/3$.

Эти три группы соединены последовательно. Общее сопротивление:

$R_{AB} = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3} = \frac{2R + R + 2R}{6} = \frac{5R}{6}$.

Подставляем значение $R=6 \text{ Ом}$:

$R_{AB} = \frac{5 \cdot 6 \text{ Ом}}{6} = 5 \text{ Ом}$.

Ответ: 5 Ом.