Номер 229, страница 86 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Соединение проводников - номер 229, страница 86.

Условие.

229. Найдите сопротивление шестиугольника, изображенного на рисунке, если он включен в цепь между точками A и B. Сопротивление каждого резистора $5 \text{ Ом}$.

Решение.

Дано:

Сопротивление каждого резистора $R = 5$ Ом.

Схема соединения показана на рисунке.

Найти:

Общее сопротивление шестиугольника между точками А и В, $R_{общ}$.

Решение:

Представленная на рисунке схема состоит из 12 одинаковых резисторов. Для нахождения общего сопротивления воспользуемся симметрией схемы.

Введем обозначения для узлов схемы. Пусть А и В — точки подключения, М — центральный узел. Верхний левый узел обозначим $T_1$, нижний левый — $B_1$, верхний правый — $T_2$, нижний правый — $B_2$.

Схема симметрична относительно горизонтальной оси, проходящей через точки А, М и В. Из-за этой симметрии потенциалы симметрично расположенных узлов равны:

$V_{T1} = V_{B1}$

$V_{T2} = V_{B2}$

Это позволяет мысленно соединить точки $T_1$ и $B_1$ в один узел L, а точки $T_2$ и $B_2$ — в один узел R. При этом схема упрощается, а сопротивления между новыми узлами будут равны эквивалентному сопротивлению параллельно соединенных резисторов исходной схемы. Пусть сопротивление каждого резистора равно $\text{R}$.

Новые сопротивления в упрощенной схеме:

• Между A и L: резисторы $A-T_1$ и $A-B_1$ соединены параллельно, $R_{AL} = R/2$.
• Между L и M: резисторы $T_1-M$ и $B_1-M$ соединены параллельно, $R_{LM} = R/2$.
• Между L и R: резисторы $T_1-T_2$ и $B_1-B_2$ соединены параллельно, $R_{LR} = R/2$.
• Между M и R: резисторы $M-T_2$ и $M-B_2$ соединены параллельно, $R_{MR} = R/2$.
• Между R и B: резисторы $T_2-B$ и $B_2-B$ соединены параллельно, $R_{RB} = R/2$.
• Резисторы $A-M$ и $M-B$ остаются без изменений: $R_{AM} = R$, $R_{MB} = R$.

Схема также симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через узел М. Если подать напряжение $\text{U}$ между точками А ($V_A=U$) и В ($V_B=0$), то потенциал центрального узла М будет равен среднему значению:

$V_M = \frac{V_A + V_B}{2} = \frac{U + 0}{2} = \frac{U}{2}$

Из-за лево-правой симметрии падение напряжения от A до L равно падению напряжения от R до B:

$V_A - V_L = V_R - V_B \implies U - V_L = V_R - 0 \implies V_L + V_R = U$.

Применим правило Кирхгофа для токов в узле L (сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него):

$I_{AL} = I_{LM} + I_{LR}$

Выразим токи через потенциалы узлов и сопротивления:

$\frac{V_A - V_L}{R_{AL}} = \frac{V_L - V_M}{R_{LM}} + \frac{V_L - V_R}{R_{LR}}$

Подставим значения потенциалов и сопротивлений:

$\frac{U - V_L}{R/2} = \frac{V_L - U/2}{R/2} + \frac{V_L - V_R}{R/2}$

Умножим обе части уравнения на $R/2$:

$U - V_L = (V_L - U/2) + (V_L - V_R)$

$U - V_L = 2V_L - U/2 - V_R$

$1.5U = 3V_L - V_R$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $V_L$ и $V_R$:

$\begin{cases} V_L + V_R = U \\ 3V_L - V_R = 1.5U \end{cases}$

Сложим оба уравнения:

$(V_L + V_R) + (3V_L - V_R) = U + 1.5U$

$4V_L = 2.5U \implies V_L = \frac{2.5}{4}U = \frac{5}{8}U$

Теперь найдем общий ток $I_{общ}$, втекающий в схему в точке А. Этот ток разветвляется на два: $I_{AM}$ и $I_{AL}$ (в упрощенной схеме).

$I_{общ} = I_{AM} + I_{AL} = \frac{V_A - V_M}{R_{AM}} + \frac{V_A - V_L}{R_{AL}}$

$I_{общ} = \frac{U - U/2}{R} + \frac{U - \frac{5}{8}U}{R/2} = \frac{U/2}{R} + \frac{3U/8}{R/2} = \frac{U}{2R} + \frac{6U}{8R} = \frac{U}{2R} + \frac{3U}{4R}$

$I_{общ} = \frac{2U}{4R} + \frac{3U}{4R} = \frac{5U}{4R}$

Общее сопротивление схемы равно $R_{общ} = \frac{U}{I_{общ}}$:

$R_{общ} = \frac{U}{5U / 4R} = \frac{4R}{5}$

Подставим заданное значение сопротивления $R = 5$ Ом:

$R_{общ} = \frac{4}{5} \cdot 5 \text{ Ом} = 4 \text{ Ом}$

Ответ: Общее сопротивление шестиугольника между точками А и В равно 4 Ом.