Номер 428, страница 161 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Строение атома. Ядерные реакции. Период полураспада - номер 428, страница 161.

Условие.

428. За одинаковое время распалось 75% ядер одного радиоактивного вещества и 87,5% ядер другого радиоактивного вещества. Определите отношение периода полураспада первого вещества к периоду полураспада второго.

Решение.

Дано:

Доля распавшихся ядер первого вещества, $p_1 = 75\% = 0.75$

Доля распавшихся ядер второго вещества, $p_2 = 87.5\% = 0.875$

Время распада одинаково для обоих веществ, $\text{t}$

Найти:

Отношение периодов полураспада $T_1/T_2$

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает число нераспавшихся ядер $\text{N}$ с начальным числом ядер $N_0$, временем $\text{t}$ и периодом полураспада $\text{T}$:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Из этой формулы можно выразить долю оставшихся (нераспавшихся) ядер:

$N/N_0 = 2^{-t/T}$

Для первого вещества распалось 75% ядер, значит, осталось $100\% - 75\% = 25\%$ ядер. В долях это составляет $0.25$ или $1/4$.

Подставим это значение в уравнение для первого вещества с периодом полураспада $T_1$:

$1/4 = 2^{-t/T_1}$

Так как $1/4 = (1/2)^2 = 2^{-2}$, мы можем переписать уравнение:

$2^{-2} = 2^{-t/T_1}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2 = t/T_1$

Отсюда время распада $\text{t}$ для первого вещества равно:

$t = 2T_1$

Для второго вещества распалось 87,5% ядер, значит, осталось $100\% - 87,5\% = 12,5\%$ ядер. В долях это составляет $0.125$ или $1/8$.

Подставим это значение в уравнение для второго вещества с периодом полураспада $T_2$:

$1/8 = 2^{-t/T_2}$

Так как $1/8 = (1/2)^3 = 2^{-3}$, мы можем переписать уравнение:

$2^{-3} = 2^{-t/T_2}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$3 = t/T_2$

Отсюда время распада $\text{t}$ для второго вещества равно:

$t = 3T_2$

По условию, время распада для обоих веществ одинаково, поэтому мы можем приравнять полученные выражения для $\text{t}$:

$2T_1 = 3T_2$

Теперь найдем искомое отношение периода полураспада первого вещества к периоду полураспада второго:

$T_1 / T_2 = 3 / 2 = 1.5$

Ответ: 1,5.