Номер 422, страница 160 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Строение атома. Ядерные реакции. Период полураспада - номер 422, страница 160.

Условие.

422. Анализ радиоактивного образца с периодом полураспада 1000 лет показал, что $ \frac{3}{4} $ ядер распались. Определите возраст образца.

Решение.

Дано:

Период полураспада $T_{1/2} = 1000$ лет

Доля распавшихся ядер $\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{3}{4}$

Найти:

$\text{t}$ — возраст образца

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $\text{N}$ с начальным количеством ядер $N_0$, временем $\text{t}$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

По условию задачи, распалось $\frac{3}{4}$ от первоначального числа ядер. Это означает, что доля оставшихся (нераспавшихся) ядер составляет:

$\frac{N(t)}{N_0} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Следовательно, $N(t) = \frac{1}{4}N_0$.

Подставим это выражение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{1}{4}N_0 = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Сократим $N_0$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{4} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Представим дробь $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь уравнение принимает вид:

$2^{-2} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выразим время $\text{t}$:

$t = 2 \cdot T_{1/2}$

Подставим известное значение периода полураспада:

$t = 2 \cdot 1000 \text{ лет} = 2000 \text{ лет}$

Ответ: возраст образца 2000 лет.