Номер 1223, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Электрические явления. 45. Работа и мощность электрического тока. Единицы работы электрического тока. Нагревание проводников электрическим током. Закон Джоуля—Ленца. Конденсатор* - номер 1223, страница 133.

Решение.

Дано

Высота, $h = 40$ см $= 0.4$ м

Диаметр наружной поверхности, $D_{нар} = 20$ см $= 0.2$ м

Толщина стенок, $d = 3$ мм $= 0.003$ м

Диэлектрическая проницаемость стекла, $\varepsilon = 5$

Электрическая постоянная, $\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Найти:

Ёмкость лейденской банки, $\text{C}$ - ?

Решение

Лейденская банка представляет собой конденсатор, состоящий из двух частей: цилиндрической и плоской (дно). Общая ёмкость $\text{C}$ равна сумме ёмкостей этих частей:

$C = C_{цил} + C_{дна}$

1. Найдём ёмкость цилиндрической части. Лейденская банка является цилиндрическим конденсатором. Его ёмкость определяется по формуле:

$C_{цил} = \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 h}{\ln(R_{нар}/R_{вн})}$

где $\text{h}$ - высота обкладок, $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость стекла, $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, $R_{нар}$ и $R_{вн}$ - радиусы наружной и внутренней обкладок соответственно.

Рассчитаем радиусы:

Наружный радиус: $R_{нар} = D_{нар} / 2 = 0.2 \text{ м} / 2 = 0.1$ м.

Внутренний радиус: $R_{вн} = R_{нар} - d = 0.1 \text{ м} - 0.003 \text{ м} = 0.097$ м.

Подставим значения в формулу для ёмкости цилиндрической части:

$C_{цил} = \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 0.4 \text{ м}}{\ln(0.1/0.097)} \approx \frac{1.112 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}{\ln(1.0309)} \approx \frac{1.112 \cdot 10^{-10}}{0.03046} \approx 3.65 \cdot 10^{-9}$ Ф.

2. Найдём ёмкость дна. Дно банки представляет собой плоский конденсатор, ёмкость которого рассчитывается по формуле:

$C_{дна} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\text{S}$ - площадь дна, которая равна площади внутренней обкладки дна: $S = \pi R_{вн}^2$.

$S = \pi \cdot (0.097 \text{ м})^2 \approx 3.14 \cdot 0.009409 \text{ м}^2 \approx 0.02955$ м$^2$.

Подставим значения в формулу для ёмкости дна:

$C_{дна} = \frac{5 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 0.02955 \text{ м}^2}{0.003 \text{ м}} \approx \frac{1.308 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}{0.003} \approx 0.436 \cdot 10^{-9}$ Ф.

3. Найдём общую ёмкость лейденской банки:

$C = C_{цил} + C_{дна} = 3.65 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} + 0.436 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 4.086 \cdot 10^{-9}$ Ф.

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую же точность.

$C \approx 4.1 \cdot 10^{-9}$ Ф $= 4.1$ нФ.

Ответ: ёмкость лейденской банки составляет примерно $4.1 \cdot 10^{-9}$ Ф или $4.1$ нФ.