Страница 60 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

8*. Представьте ответ на последний вопрос предыдущей задачи в виде формулы (решите задачу в общем виде).

Поскольку "предыдущая задача" не была предоставлена, для выполнения задания необходимо сделать предположение о ее содержании. Как правило, такие задачи (с пометкой *) являются обобщением предыдущей задачи с конкретными числовыми данными. Предположим, что предыдущая задача была о теле, брошенном горизонтально с некоторой высоты.

Гипотетическое условие предыдущей задачи:

Тело брошено горизонтально с высоты $h$ над поверхностью земли с начальной скоростью $v_0$. Ускорение свободного падения равно $g$. Сопротивлением воздуха пренебречь. Последний вопрос задачи был: "Найдите модуль и направление конечной скорости тела в момент удара о землю".

Решим эту задачу в общем виде, то есть найдем ответ в виде формулы.

Дано:
Начальная высота: $h$
Начальная горизонтальная скорость: $v_0$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:
Формулу для модуля конечной скорости $v$
Формулу для направления конечной скорости (угол $\alpha$ к горизонту)

Решение:

Движение тела можно рассматривать как наложение двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного (свободное падение) по вертикали (ось OY). Направим ось OX горизонтально, а ось OY вертикально вниз, с началом координат в точке броска.

1. Анализ вертикального движения (ось OY):

Движение по вертикали является свободным падением без начальной скорости. Высота, пройденная телом за время $t$, описывается формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда можно выразить время полета $t_{пол}$ до момента падения на землю:

$t_{пол} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ в любой момент времени $t$ равна $v_y = gt$. В момент удара о землю ($t = t_{пол}$) она будет равна:

$v_y = g \cdot t_{пол} = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{g^2 \frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$

2. Анализ горизонтального движения (ось OX):

Поскольку сопротивление воздуха отсутствует, на тело не действуют силы в горизонтальном направлении. Следовательно, горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной и равной начальной скорости:

$v_x = v_0$

3. Нахождение полной скорости в момент падения:

Полная скорость $\vec{v}$ в момент падения является векторной суммой ее горизонтальной $\vec{v}_x$ и вертикальной $\vec{v}_y$ составляющих. Так как эти векторы перпендикулярны, модуль полной скорости $v$ можно найти по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Подставляем найденные значения для $v_x$ и $v_y$:

$v = \sqrt{v_0^2 + (\sqrt{2gh})^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$

Это и есть искомая формула для модуля конечной скорости.

Направление скорости определяется углом $\alpha$, который вектор скорости $\vec{v}$ образует с горизонтом. Тангенс этого угла равен отношению модуля вертикальной составляющей скорости к горизонтальной:

$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$

Следовательно, сам угол можно найти через арктангенс:

$\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right)$

Ответ:

Формула для модуля конечной скорости тела: $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$.
Формула для нахождения угла $\alpha$, который вектор конечной скорости составляет с горизонтом: $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2gh}}{v_0}\right)$.

Задание 15. Сравните время поездки от Москвы до Санкт-Петербурга на перекладных, на первом поезде Николаевской железной дороги и на «Сапсане». Необходимую информацию найдите в Интернете.

Поездка на перекладных
В XVIII – первой половине XIX века путешествие из Москвы в Санкт-Петербург на перекладных (система, при которой путешественники меняли уставших лошадей на свежих на специальных почтовых станциях) было долгим и зависело от погоды, состояния дорог и типа повозки. Срочный курьер мог преодолеть расстояние за 3-4 дня. Для обычного пассажира поездка занимала в среднем 4-5 суток, а иногда и больше недели.
Ответ: среднее время поездки на перекладных составляло от 4 до 5 суток (96–120 часов).

Поездка на первом поезде Николаевской железной дороги
С открытием регулярного движения по Николаевской (ныне Октябрьской) железной дороге 1 ноября 1851 года скорость путешествия между двумя столицами кардинально изменилась. Первый пассажирский поезд, который современники называли «всенародным», преодолел расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы за 21 час 45 минут. Это было настоящей транспортной революцией для России.
Ответ: время поездки на первом поезде Николаевской железной дороги составляло 21 час 45 минут.

Поездка на «Сапсане»
Современный высокоскоростной поезд «Сапсан», запущенный в 2009 году, является самым быстрым способом добраться из Москвы в Санкт-Петербург по железной дороге. В зависимости от рейса и количества остановок, время в пути варьируется. Самые быстрые поезда доезжают за 3 часа 30 минут, стандартное время в пути составляет около 3 часов 50 минут – 4 часов.
Ответ: среднее время поездки на «Сапсане» составляет около 3 часов 50 минут.

Сравнивая эти три временных отрезка, можно наглядно увидеть эволюцию скорости передвижения. Возьмем средние значения для сравнения: путешествие на перекладных – 108 часов, первый поезд – 22 часа, «Сапсан» – около 4 часов.
Появление первого поезда сократило время в пути по сравнению с конной тягой примерно в 5 раз: $108 \text{ ч} / 22 \text{ ч} \approx 4.9$.
Современный «Сапсан» оказался быстрее первого поезда примерно в 5.5 раз: $22 \text{ ч} / 4 \text{ ч} = 5.5$.
Общее ускорение путешествия со времен перекладных до наших дней колоссально: «Сапсан» преодолевает тот же путь примерно в 27 раз быстрее, чем конные экипажи XIX века: $108 \text{ ч} / 4 \text{ ч} = 27$.