Страница 63 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

1. Что характеризует ускорение?

Что характеризует ускорение?

Ускорение — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела с течением времени. Иными словами, ускорение показывает, на какую величину и в каком направлении изменяется вектор скорости тела за единицу времени.

Поскольку скорость является вектором (то есть имеет и величину, и направление), её изменение может происходить по-разному, и в каждом из этих случаев тело движется с ускорением:

• Изменение величины (модуля) скорости: тело начинает двигаться быстрее (разгоняется) или медленнее (тормозит). Например, автомобиль, набирающий скорость, имеет ускорение, направленное в сторону движения. При торможении вектор ускорения направлен против вектора скорости.
• Изменение направления скорости: тело движется с постоянной по величине скоростью, но меняет траекторию. Классический пример — движение тела по окружности с постоянной скоростью. Вектор скорости в каждой точке направлен по касательной, и он постоянно меняет свое направление. Это означает, что тело испытывает ускорение, которое в данном случае направлено к центру окружности (оно называется центростремительным).
• Одновременное изменение и величины, и направления скорости: например, когда автомобиль входит в поворот, одновременно увеличивая или уменьшая скорость.

Математически среднее ускорение $\vec{a}$ определяется как отношение изменения вектора скорости $\Delta \vec{v}$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло: $ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t} $ где $\vec{v}$ — конечная скорость тела, а $\vec{v_0}$ — его начальная скорость за промежуток времени $t$.

Направление вектора ускорения всегда совпадает с направлением вектора изменения скорости $\Delta \vec{v}$.

В Международной системе единиц (СИ) ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате ($\text{м/с}^2$). Ускорение в $1 \text{ м/с}^2$ означает, что за каждую секунду скорость тела изменяется на $1 \text{ м/с}$.

Таким образом, наличие у тела ненулевого ускорения означает, что его движение не является равномерным и прямолинейным.

Ответ: Ускорение характеризует быстроту изменения скорости тела как по величине (модулю), так и/или по направлению.

2. В каких единицах измеряется ускорение?

Ускорение — это векторная физическая величина, которая показывает, как быстро изменяется скорость тела. Ускорение характеризует изменение скорости как по величине (модулю), так и по направлению. Например, если тело движется быстрее, медленнее или меняет направление своего движения, оно движется с ускорением. Положительное ускорение (направленное в ту же сторону, что и скорость) означает увеличение скорости, а отрицательное (направленное против скорости) — её уменьшение (торможение).
Ответ: Ускорение характеризует быстроту изменения скорости тела по величине и направлению.

2. Единица измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) определяется как изменение скорости за единицу времени. Скорость измеряется в метрах в секунду ($м/с$), а время — в секундах ($с$). Таким образом, ускорение показывает, на сколько метров в секунду изменяется скорость тела за одну секунду.
Ответ: В системе СИ ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате ($м/с^2$).

3. Для определения скорости тела в любой момент времени при движении с постоянным ускорением (равноускоренном движении) используется формула, которая связывает конечную скорость, начальную скорость, ускорение и время.
Ответ: Скорость при равноускоренном движении можно определить по формуле: $v = v_0 + at$, где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, а $t$ — время движения. В векторной форме эта формула выглядит так: $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$.

3. По какой формуле можно определить скорость при прямолинейном равноускоренном движении?

При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела изменяется линейно с течением времени, так как его ускорение является постоянной величиной ($a = \text{const}$). Скорость тела в любой момент времени можно определить, зная его начальную скорость и ускорение.

Основная формула для определения скорости при прямолинейном равноускоренном движении, которая показывает зависимость скорости от времени, имеет следующий вид:

$v = v_0 + at$

В данной формуле:
$v$ — это конечная скорость тела в момент времени $t$;
$v_0$ — это начальная скорость тела (т.е. скорость в момент времени $t=0$);
$a$ — это ускорение, с которым движется тело;
$t$ — это промежуток времени, в течение которого наблюдалось движение.

Важно отметить, что скорость и ускорение являются векторными величинами. При решении задач на практике эту формулу обычно записывают в проекциях на координатную ось, например, на ось OX: $v_x = v_{0x} + a_x t$. Знаки проекций ($v_{0x}$ и $a_x$) зависят от того, совпадают ли направления векторов с направлением оси или противоположны ему. Например, при равнозамедленном движении (когда модуль скорости уменьшается) вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, поэтому их проекции на ось будут иметь разные знаки.

Существует также другая формула, которая связывает скорость не со временем, а с перемещением тела $s$. Она очень полезна в случаях, когда время движения неизвестно:

$v^2 = v_0^2 + 2as$

Из этой формулы можно выразить модуль конечной скорости:

$v = \sqrt{v_0^2 + 2as}$

Здесь $s$ — это перемещение тела. Эта формула также используется в проекциях, и знаки величин зависят от выбранного направления оси.

Ответ: Скорость при прямолинейном равноускоренном движении можно определить по формуле зависимости скорости от времени: $v = v_0 + at$. Также можно использовать формулу, связывающую скорость с перемещением: $v^2 = v_0^2 + 2as$.

4. В каком случае ускорение тела положительно; отрицательно?

Решение

Знак ускорения (точнее, его проекции на координатную ось) зависит исключительно от выбора положительного направления этой оси и направления самого вектора ускорения. Он не определяет напрямую, увеличивается или уменьшается скорость тела, а лишь указывает направление вектора ускорения относительно оси.

ускорение тела положительно

Проекция ускорения на ось является положительной ($a_x > 0$), если вектор ускорения $\vec{a}$ сонаправлен с положительным направлением выбранной координатной оси (например, оси OX).
Это может происходить в следующих случаях прямолинейного движения:
1. Равноускоренное движение (разгон) в положительном направлении оси. В этом случае векторы скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$ сонаправлены и направлены вдоль оси. Их проекции положительны: $v_x > 0$ и $a_x > 0$.
2. Равнозамедленное движение (торможение) в отрицательном направлении оси. В этом случае вектор скорости $\vec{v}$ направлен против оси ($v_x < 0$), а вектор ускорения $\vec{a}$ — вдоль оси ($a_x > 0$).

Ответ: Ускорение тела положительно, когда вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и положительное направление оси координат.

ускорение тела отрицательно

Проекция ускорения на ось является отрицательной ($a_x < 0$), если вектор ускорения $\vec{a}$ направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси.
Это может происходить в следующих случаях прямолинейного движения:
1. Равнозамедленное движение (торможение) в положительном направлении оси. В этом случае вектор скорости $\vec{v}$ направлен вдоль оси ($v_x > 0$), а вектор ускорения $\vec{a}$ — против неё ($a_x < 0$).
2. Равноускоренное движение (разгон) в отрицательном направлении оси. В этом случае векторы скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$ сонаправлены, но оба направлены против оси. Их проекции отрицательны: $v_x < 0$ и $a_x < 0$.

Ответ: Ускорение тела отрицательно, когда вектор ускорения направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси координат.

1. Докажите, что единицей ускорения в СИ является $\frac{м}{{с}^2}$.

1. Решение:

Ускорение ($a$) — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. По определению, ускорение равно отношению изменения скорости ($\Delta v$) ко времени ($\Delta t$), за которое это изменение произошло.

Математически это выражается формулой: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Для того чтобы доказать, что единицей ускорения в Международной системе единиц (СИ) является $\frac{м}{с^2}$, необходимо проанализировать единицы измерения величин, входящих в эту формулу.

В системе СИ основной единицей измерения скорости ($v$) является метр в секунду. Это означает, что для определения размерности скорости мы делим размерность пути (метр, $м$) на размерность времени (секунда, $с$). $[v] = \frac{м}{с}$

Основной единицей измерения времени ($t$) в СИ является секунда ($с$). $[t] = с$

Теперь подставим размерности величин в формулу для ускорения, чтобы найти его размерность $[a]$: $[a] = \frac{[\Delta v]}{[\Delta t]} = \frac{\frac{м}{с}}{с}$

При делении дроби на число, знаменатель дроби умножается на это число: $[a] = \frac{м}{с \cdot с} = \frac{м}{с^2}$

Таким образом, мы доказали, что единицей измерения ускорения в системе СИ является метр на секунду в квадрате.

Ответ: Единица измерения ускорения в СИ ($\frac{м}{с^2}$) является производной. Она выводится из определения ускорения как отношения единицы измерения скорости ($\frac{м}{с}$) к единице измерения времени ($с$), что и требовалось доказать.

2. Собака бежит по прямой и за каждую секунду пробегает 4 м. Докажите, что данное движение не является равноускоренным.

Дано:

Расстояние, пробегаемое за каждую секунду: $\Delta s = 4 \text{ м}$

Соответствующий промежуток времени: $\Delta t = 1 \text{ с}$

Найти:

Доказать, что движение не является равноускоренным.

Решение:

По условию задачи, собака за каждый равный промежуток времени ($\Delta t = 1 \text{ с}$) проходит одинаковое расстояние ($\Delta s = 4 \text{ м}$). Движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения, называется равномерным прямолинейным движением.

Скорость тела при равномерном движении постоянна и определяется по формуле:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Подставим значения из условия задачи:

$v = \frac{4 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 4 \text{ м/с}$

Скорость собаки постоянна и равна 4 м/с.

Равноускоренным движением называется движение с постоянным, не равным нулю ускорением ($a = \text{const} \neq 0$). Ускорение характеризует быстроту изменения скорости и вычисляется по формуле:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

где $\Delta v$ — изменение скорости за промежуток времени $\Delta t$.

Поскольку скорость собаки постоянна ($v = \text{const}$), ее изменение за любой промежуток времени равно нулю:

$\Delta v = v_{конечная} - v_{начальная} = 4 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с} = 0$

Следовательно, ускорение собаки также равно нулю:

$a = \frac{0}{\Delta t} = 0 \text{ м/с}^2$

Так как ускорение тела равно нулю, а для равноускоренного движения оно должно быть постоянным и отличным от нуля, данное движение не является равноускоренным. Оно является равномерным.

Ответ: Движение собаки является равномерным, так как её скорость постоянна ($v=4 \text{ м/с}$) и не изменяется со временем, а ускорение равно нулю ($a = 0 \text{ м/с}^2$). По определению, равноускоренное движение — это движение с постоянным и не равным нулю ускорением, поэтому данное движение не является равноускоренным.

3*. Можно ли сказать, что при равноускоренном движении скорость тела прямо пропорциональна его ускорению?

Нет, в общем случае так сказать нельзя. Разберем, почему это утверждение не всегда верно.

Прямая пропорциональность между двумя величинами (например, y и x) означает, что их можно связать уравнением вида $y = kx$, где k — постоянный коэффициент пропорциональности. Важным свойством такой зависимости является то, что если одна величина равна нулю, то и другая тоже равна нулю. Графически такая зависимость всегда представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Рассмотрим формулу, описывающую скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении: $v = v_0 + at$ где $v$ — конечная скорость тела, $v_0$ — его начальная скорость, $a$ — ускорение, а $t$ — время движения.

В этом уравнении скорость $v$ зависит от ускорения $a$ линейно. Однако, чтобы эта зависимость была прямо пропорциональной, необходимо, чтобы при $a=0$ скорость $v$ также обращалась в ноль. Подставим $a=0$ в формулу: $v = v_0 + 0 \cdot t = v_0$

Как видим, при нулевом ускорении скорость тела равна его начальной скорости $v_0$. Она будет равна нулю только в том случае, если тело изначально находилось в состоянии покоя ($v_0 = 0$). Если же у тела была ненулевая начальная скорость, то зависимость $v(a)$ не проходит через начало координат, а значит, не является прямой пропорциональностью.

Таким образом, можно выделить два случая:

1. Если начальная скорость тела $v_0 = 0$, то формула принимает вид $v = at$. В этом случае при фиксированном времени t скорость v действительно прямо пропорциональна ускорению a.
2. Если начальная скорость тела $v_0 \neq 0$, то зависимость скорости от ускорения является линейной, но не прямо пропорциональной.

Поскольку вопрос задан в общем виде, без уточнения о начальной скорости, правильным будет общий ответ, который учитывает все возможные ситуации.

Ответ: Нет, нельзя сказать, что при равноускоренном движении скорость тела всегда прямо пропорциональна его ускорению. Эта зависимость является прямо пропорциональной только в частном случае, когда начальная скорость тела равна нулю. В общем случае, при наличии ненулевой начальной скорости, зависимость является линейной, но не прямо пропорциональной.

1. С каким ускорением разгоняется автомобиль, если он за 5 с увеличивает свою скорость от 5 до 20$\frac{м}{с}$?

1. Дано:

Начальная скорость $v_0 = 5 \frac{м}{с}$

Конечная скорость $v = 20 \frac{м}{с}$

Время $t = 5 \text{ с}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение $a$

Решение:

Ускорение тела при равноускоренном движении определяется как отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло. Формула для вычисления ускорения:

$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v - v_0}{t}$

где $a$ — искомое ускорение, $\Delta v$ — изменение скорости, $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время.

Подставим в формулу значения из условия задачи:

$a = \frac{20 \frac{м}{с} - 5 \frac{м}{с}}{5 \text{ с}} = \frac{15 \frac{м}{с}}{5 \text{ с}} = 3 \frac{м}{с^2}$

Ответ: автомобиль разгоняется с ускорением $3 \frac{м}{с^2}$.

2. Разгоняясь из состояния покоя, велосипедист за 11 с развил скорость 22$\frac{м}{с}$. Определите ускорение велосипедиста. Постройте график зависимости ускорения от времени а(t), считая движение равноускоренным.

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (движение из состояния покоя)
Конечная скорость, $v = 22$ м/с
Время движения, $t = 11$ с
Движение равноускоренное, т.е. $a = \text{const}$

Найти:

1. Ускорение велосипедиста, $a$.
2. График зависимости ускорения от времени, $a(t)$.

Решение:

1. Определение ускорения велосипедиста.

При равноускоренном движении ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло. Формула для ускорения: $ a = \frac{v - v_0}{t} $ Подставим данные из условия задачи в эту формулу: $ a = \frac{22 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{11 \text{ с}} = \frac{22}{11} \text{ м/с}^2 = 2 \text{ м/с}^2 $

2. Построение графика зависимости ускорения от времени a(t).

По условию, движение велосипедиста является равноускоренным. Это означает, что его ускорение постоянно на протяжении всего времени движения. Мы вычислили, что это ускорение равно $a = 2 \text{ м/с}^2$.

Следовательно, функция зависимости ускорения от времени имеет вид $a(t) = 2$. Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси времени (оси абсцисс) и проходящая через точку $a=2$ на оси ускорений (оси ординат).

Ответ: Ускорение велосипедиста равно $2 \text{ м/с}^2$. График зависимости ускорения от времени $a(t)$ представляет собой горизонтальную прямую, расположенную на уровне $a = 2 \text{ м/с}^2$.

3. Автомобиль начал двигаться от светофора, и через 5 с его скорость стала 10$\frac{м}{с}$. С каким ускорением двигался автомобиль, если его движение прямолинейное равноускоренное? Постройте график зависимости скорости автомобиля от времени v(t).

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (автомобиль начал двигаться)

Время движения, $t = 5 \text{ с}$

Конечная скорость, $v = 10 \text{ м/с}$

Движение прямолинейное, равноускоренное.

Найти:

1. Ускорение, $a - ?$

2. Построить график зависимости скорости от времени, $v(t)$.

Решение:

1. Нахождение ускорения автомобиля

При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела в любой момент времени $t$ определяется по формуле:

$v = v_0 + at$

Поскольку автомобиль начинает движение от светофора, его начальная скорость $v_0$ равна нулю. Формула упрощается:

$v = at$

Чтобы найти ускорение $a$, выразим его из данной формулы:

$a = \frac{v}{t}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$a = \frac{10 \text{ м/с}}{5 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение автомобиля составляет $2 \text{ м/с}^2$.

2. Построение графика зависимости скорости от времени v(t)

Уравнение зависимости скорости от времени для данного автомобиля имеет вид $v(t) = v_0 + at$. Мы уже знаем, что $v_0 = 0 \text{ м/с}$ и $a = 2 \text{ м/с}^2$. Подставив эти значения, получим искомое уравнение движения:

$v(t) = 0 + 2 \cdot t$

$v(t) = 2t$

Это уравнение представляет собой линейную функцию. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат.

Для построения графика необходимо определить координаты нескольких точек. Составим таблицу значений скорости $v$ для разных моментов времени $t$:

График $v(t)$ — это прямая линия, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точку (5; 10). Ось абсцисс (горизонтальная) — это время $t$ в секундах, а ось ординат (вертикальная) — это скорость $v$ в м/с.

Ответ: графиком зависимости скорости автомобиля от времени является прямая линия, описываемая уравнением $v(t) = 2t$. График выходит из начала координат (0;0) и проходит, например, через точку (5;10).

4. Автомобиль, движущийся прямолинейно со скоростью 10$\frac{м}{с}$. начинает разгоняться с ускорением 2$\frac{м}{{с}^2}$. Какой станет его скорость через 5 с?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 10 \frac{м}{с}$

Ускорение $a = 2 \frac{м}{с^2}$

Время $t = 5 \text{ с}$

Найти:

Конечная скорость $v$

Решение:

Задача описывает прямолинейное равноускоренное движение. Для определения скорости тела в любой момент времени при таком движении используется следующая формула:

$v = v_0 + at$

где $v$ – конечная скорость, $v_0$ – начальная скорость, $a$ – ускорение, а $t$ – время движения.

Подставим данные из условия задачи в эту формулу:

$v = 10 \frac{м}{с} + 2 \frac{м}{с^2} \cdot 5 \text{ с}$

Сначала выполним умножение:

$2 \frac{м}{с^2} \cdot 5 \text{ с} = 10 \frac{м}{с}$

Теперь выполним сложение:

$v = 10 \frac{м}{с} + 10 \frac{м}{с} = 20 \frac{м}{с}$

Ответ: скорость автомобиля через 5 с станет $20 \frac{м}{с}$.