Страница 59 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

3. Почему для определения скорости тела при равномерном движении по графику зависимости пути от времени можно выбрать любую точку графика?

б) при неравномерном движении?

При неравномерном движении скорость тела постоянно изменяется. В этом случае различают мгновенную и среднюю скорость. На графике зависимости пути от времени неравномерное движение изображается кривой линией.

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени. Чтобы найти ее по графику, необходимо:
1. Выбрать на кривой точку, соответствующую интересующему моменту времени.
2. Провести к кривой в этой точке касательную линию.
3. Определить угловой коэффициент этой касательной. Для этого нужно выбрать на касательной две произвольные точки с координатами $(t_1, s_1)$ и $(t_2, s_2)$ и вычислить скорость по формуле: $v_{мгн} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$
Мгновенная скорость равна тангенсу угла наклона касательной к оси времени.

Средняя скорость за определенный промежуток времени $\Delta t$ — это отношение всего пути $\Delta s$, пройденного за этот промежуток, к самому промежутку времени. На графике она определяется как тангенс угла наклона секущей, проведенной через начальную и конечную точки рассматриваемого интервала движения. $v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Ответ: При неравномерном движении скорость в конкретный момент времени (мгновенная скорость) определяется по тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику в точке, соответствующей этому моменту. Средняя скорость за промежуток времени определяется по тангенсу угла наклона секущей, соединяющей начальную и конечную точки этого промежутка на графике.

3. Почему для определения скорости тела при равномерном движении по графику зависимости пути от времени можно выбрать любую точку графика?

Равномерное движение характеризуется постоянной скоростью ($v = \text{const}$). Зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ для такого движения (при условии, что $s=0$ при $t=0$) описывается линейной функцией: $s = v \cdot t$

Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Из формулы видно, что скорость $v$ является коэффициентом пропорциональности между путем $s$ и временем $t$. Алгебраически, скорость можно выразить как: $v = \frac{s}{t}$

В геометрии отношение ординаты точки ($s$) к ее абсциссе ($t$) для прямой, проходящей через начало координат, является постоянной величиной и равно тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс (угловому коэффициенту). Поскольку график зависимости пути от времени при равномерном движении — это прямая, то отношение $s/t$ будет одинаковым для любой точки на этой прямой (кроме точки $(0,0)$). Так как это отношение и есть скорость, а при равномерном движении она постоянна, то для ее нахождения можно взять координаты любой точки на графике.

Ответ: При равномерном движении зависимость пути от времени линейна ($s = v \cdot t$), а ее график — прямая линия. Отношение пути ко времени ($s/t$) для любой точки на этой прямой постоянно и равно скорости движения. Поэтому для вычисления скорости можно использовать координаты любой точки графика.

Решая задачу на движение, Иван воспользовался тем, что пройденный путь прямо пропорционален времени, а Гоша, решая другую задачу, — тем, что путь прямо пропорционален скорости. Предложите условия задач, которые могли решать ребята.

Основная формула, связывающая путь, скорость и время при равномерном движении, выглядит так: $s = v \cdot t$, где $s$ — пройденный путь, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Прямая пропорциональность между двумя величинами означает, что их отношение постоянно. Например, если величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$, то их связь описывается формулой $y = k \cdot x$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Задача, которую мог решать Иван

Иван воспользовался тем, что пройденный путь прямо пропорционален времени ($s \propto t$). Если рассмотреть формулу $s = v \cdot t$, то становится ясно, что такая зависимость возможна только в том случае, когда скорость $v$ является постоянной величиной (константой). При этом скорость $v$ и будет являться коэффициентом пропорциональности.

Таким образом, Иван решал задачу, где движение происходило с постоянной скоростью.

Пример условия задачи для Ивана:

Турист идёт по лесу с постоянной скоростью 4 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 2 часа? А за 3 часа?

В такой задаче, чем больше времени движется турист, тем большее расстояние он проходит, и эта зависимость — прямая пропорциональность, так как скорость не меняется.

Ответ: Задача Ивана должна была содержать условие о движении с постоянной (неизменной) скоростью.

Задача, которую мог решать Гоша

Гоша, в свою очередь, использовал тот факт, что путь прямо пропорционален скорости ($s \propto v$). В формуле $s = v \cdot t$ такая зависимость возникает тогда, когда время движения $t$ является постоянной величиной (константой). В этом случае время $t$ выступает в роли коэффициента пропорциональности.

Следовательно, Гоша решал задачу, где рассматривались движения, происходящие за один и тот же промежуток времени.

Пример условия задачи для Гоши:

Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном направлении и двигались ровно 2 часа. Скорость первого автомобиля — 60 км/ч, а второго — 90 км/ч. Какой путь проехал каждый автомобиль?

В этой задаче, так как время движения одинаково для обоих автомобилей, то автомобиль с большей скоростью проедет и большее расстояние. Отношение пройденных путей будет равно отношению их скоростей.

Ответ: Задача Гоши должна была содержать условие о движении объектов в течение одинакового (постоянного) промежутка времени.

1. Какой путь проползёт улитка по стволу дерева за 5 мин, если её скорость 1,4$\frac{мм}{с}$?

1. Дано:
Время движения, $t = 5$ мин
Скорость улитки, $v = 1,4 \frac{мм}{с}$

$t = 5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$
$v = 1,4 \frac{\text{мм}}{\text{с}} = 0,0014 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:
Путь, $S$

Решение:
Для нахождения пути, который проползёт улитка, воспользуемся формулой пути при равномерном движении:
$S = v \cdot t$
где $S$ — это путь, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Единицы измерения скорости (мм/с) и времени (мин) должны быть согласованы. Переведём время из минут в секунды:
$t = 5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$

Теперь подставим значения скорости и времени в формулу для нахождения пути:
$S = 1,4 \frac{\text{мм}}{\text{с}} \cdot 300 \text{ с} = 420 \text{ мм}$

Полученный результат можно для удобства перевести в сантиметры или метры:
$420 \text{ мм} = 42 \text{ см} = 0,42 \text{ м}$

Ответ: за 5 минут улитка проползёт 420 мм.

2. Средняя скорость роста дуба 0,3 м в год. Сколько лет дереву высотой 6 м?

Дано:

Средняя скорость роста дуба, $v = 0,3$ м/год

Высота дерева, $h = 6$ м

Переведем данные в систему СИ:

Высота $h = 6$ м (метр — основная единица длины в СИ).

Скорость $v = 0,3$ м/год. В системе СИ единица времени — секунда (с). Примем, что в году 365 дней.

$1 \text{ год} = 365 \text{ дней} \times 24 \text{ часа/день} \times 3600 \text{ с/час} = 31536000 \text{ с}$.

$v = \frac{0,3 \text{ м}}{31536000 \text{ с}} \approx 9,51 \times 10^{-9}$ м/с.

Найти:

Возраст дерева, $t$ - ?

Решение:

Возраст дерева $t$ можно определить, разделив его общую высоту $h$ на среднюю годовую скорость роста $v$.

Используем основную формулу, связывающую путь, скорость и время (в данном случае — высоту, скорость роста и возраст): $t = \frac{h}{v}$

Чтобы получить ответ сразу в годах, как того требует вопрос, целесообразно использовать исходные единицы измерения: метры для высоты и метры в год для скорости.

Подставим заданные значения в формулу: $t = \frac{6 \text{ м}}{0,3 \text{ м/год}}$

Выполним деление: $t = 20 \text{ лет}$

Ответ: дереву 20 лет.

3. Постройте графики зависимости пути от времени для тел, одно из которых движется с постоянной скоростью v₁ = 7$\frac{м}{с}$, а второе — со скоростью v₂ = 3$\frac{м}{с}$.

Дано:

Скорость первого тела $v_1 = 7 \frac{м}{с}$

Скорость второго тела $v_2 = 3 \frac{м}{с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Построить графики зависимости пути от времени $S_1(t)$ и $S_2(t)$.

Решение:

Движение обоих тел является равномерным прямолинейным, поскольку их скорости постоянны. Зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$ при равномерном движении описывается формулой:

$S = v \cdot t$

где $v$ — постоянная скорость тела.

Для первого тела уравнение зависимости пути от времени имеет вид:

$S_1(t) = v_1 \cdot t = 7t$

Для второго тела уравнение зависимости пути от времени имеет вид:

$S_2(t) = v_2 \cdot t = 3t$

Оба уравнения являются линейными функциями вида $y = kx$, где в нашем случае $y$ это путь $S$, $x$ это время $t$, а коэффициент пропорциональности $k$ это скорость $v$. Графиком линейной функции является прямая линия. Так как в начальный момент времени ($t=0$) путь равен нулю ($S=0$), обе прямые будут проходить через начало координат (0; 0).

Для построения графиков найдем координаты еще одной точки для каждой прямой. Для этого выберем произвольный момент времени, например $t = 2$ с.

Для первого тела:
При $t = 2$ с, путь $S_1 = 7 \frac{м}{с} \cdot 2 с = 14$ м. Таким образом, вторая точка для графика первого тела — (2; 14).

Для второго тела:
При $t = 2$ с, путь $S_2 = 3 \frac{м}{с} \cdot 2 с = 6$ м. Вторая точка для графика второго тела — (2; 6).

Теперь можно построить графики в одной системе координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается время $t$ в секундах, а по вертикальной оси (оси ординат) — путь $S$ в метрах.

1. График $S_1(t)$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (2; 14).
2. График $S_2(t)$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (2; 6).

Угол наклона графика зависимости пути от времени к оси времени характеризует скорость движения. Чем больше скорость, тем больше угол наклона (тем "круче" идет график). Так как $v_1 > v_2$ ($7 \frac{м}{с} > 3 \frac{м}{с}$), график для первого тела будет иметь больший угол наклона к оси времени, чем график для второго тела.

Ответ:

Графиками зависимости пути от времени для данных тел являются прямые линии, выходящие из начала координат. Уравнение движения для первого тела: $S_1 = 7t$. Уравнение движения для второго тела: $S_2 = 3t$. График для первого тела имеет больший угол наклона к оси времени, чем график для второго тела.

4. На рисунке 42 приведён график зависимости пройденного пути от времени для равномерно движущегося тела. По этому графику найдите путь, пройденный телом за 2 ч. Рассчитайте скорость тела.

Дано:

Нам дан график зависимости пройденного пути $s$ от времени $t$ для равномерно движущегося тела.

Время для нахождения пути: $t_1 = 2 \text{ ч}$.

Для расчета скорости возьмем с графика произвольную точку, например, где время $t_2 = 4 \text{ ч}$ и соответствующий ему путь $s_2 = 500 \text{ км}$.

Перевод данных в систему СИ:

$t_1 = 2 \text{ ч} = 2 \cdot 3600 \text{ с} = 7200 \text{ с}$

$t_2 = 4 \text{ ч} = 4 \cdot 3600 \text{ с} = 14400 \text{ с}$

$s_2 = 500 \text{ км} = 500 \cdot 1000 \text{ м} = 500000 \text{ м}$

Найти:

1. Путь $s_1$, пройденный телом за время $t_1 = 2 \text{ ч}$.

2. Скорость тела $v$.

Решение:

1. Определение пути по графику.

Чтобы найти путь, пройденный телом за 2 часа, необходимо найти на горизонтальной оси (оси времени $t$) значение 2 ч. Затем от этой точки нужно подняться вертикально вверх до пересечения с линией графика. От точки пересечения следует провести горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью (осью пути $s$). Значение на оси $s$, в которое упирается эта линия, и будет искомым путем.Из графика видно, что значению времени $t_1 = 2 \text{ ч}$ соответствует путь $s_1 = 250 \text{ км}$.

2. Расчет скорости тела.

Поскольку движение тела равномерное (график — прямая линия, выходящая из начала координат), его скорость постоянна. Скорость равномерного движения вычисляется по формуле:

$v = \frac{s}{t}$

Для расчета скорости используем данные из точки, взятой с графика: $t_2 = 4 \text{ ч}$ и $s_2 = 500 \text{ км}$.

$v = \frac{500 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 125 \text{ км/ч}$

Проверим расчет, используя найденный в первом пункте путь за 2 часа:

$v = \frac{250 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 125 \text{ км/ч}$

Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчетов. Скорость тела составляет 125 км/ч.

При необходимости можно выразить скорость в единицах СИ (метры в секунду):

$v = 125 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 125 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1250}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 34.7 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: путь, пройденный телом за 2 ч, составляет 250 км; скорость тела равна 125 км/ч.

5. По графику зависимости скорости равномерно движущегося тела от времени (рис. 43) определите скорость тела и путь, который оно пройдёт за 3 с; 7 с.

Дано:

График зависимости скорости $v$ от времени $t$.

$t_1 = 3$ с

$t_2 = 7$ с

Все данные в условии задачи представлены в единицах системы СИ.

Найти:

$v - ?$

$s_1 - ?$ (путь за 3 с)

$s_2 - ?$ (путь за 7 с)

Решение:

Скорость тела

На представленном графике показана зависимость скорости тела от времени. График является прямой линией, параллельной оси времени (оси $t$). Это означает, что скорость тела не изменяется с течением времени, следовательно, движение является равномерным. Значение постоянной скорости определяем по шкале на оси ординат (оси $v$).

$v = 9$ м/с

Ответ: скорость тела равна 9 м/с.

Путь, который оно пройдет за 3 с; 7 с

Путь при равномерном прямолинейном движении вычисляется по формуле:

$s = v \cdot t$

где $v$ — это скорость тела, а $t$ — время движения.

1. Найдем путь, пройденный телом за время $t_1 = 3$ с:

$s_1 = 9 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 3 \text{ с} = 27 \text{ м}$

2. Найдем путь, пройденный телом за время $t_2 = 7$ с:

$s_2 = 9 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 7 \text{ с} = 63 \text{ м}$

Ответ: за 3 с тело пройдет путь 27 м, а за 7 с — 63 м.

6. По графикам зависимости пути от времени (рис. 44) двух тел, движущихся равномерно, определите, скорость какого тела больше. Проверьте себя, рассчитав скорости этих тел.

На графике зависимости пройденного пути от времени для равномерного движения скорость тела определяется наклоном графика к оси времени. Чем больше угол наклона (чем "круче" идет линия), тем выше скорость.

Сравнивая два графика на рисунке, можно заметить, что график I имеет больший угол наклона по отношению к оси времени, чем график II. Это означает, что скорость первого тела больше скорости второго.

Для проверки этого вывода выполним расчет скоростей.

Дано:

Из графика для тела I:
Путь $s_1 = 25$ м
Время $t_1 = 5$ с

Из графика для тела II:
Путь $s_2 = 12$ м
Время $t_2 = 6$ с

Все данные представлены в системе СИ, перевод единиц не требуется.

Найти:

$v_1$ — ?
$v_2$ — ?

Решение:

Поскольку движение тел равномерное, скорость можно найти по формуле: $v = \frac{s}{t}$ где $s$ — пройденный путь, а $t$ — время движения.

Рассчитаем скорость первого тела (I): $v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{25 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Рассчитаем скорость второго тела (II): $v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{12 \text{ м}}{6 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$

Сравним полученные скорости: $5 \text{ м/с} > 2 \text{ м/с}$, следовательно, $v_1 > v_2$.

Расчеты подтверждают, что скорость первого тела больше скорости второго.

Ответ: скорость первого тела (5 м/с) больше, чем скорость второго тела (2 м/с).

7*. Первую половину пути из Москвы в Подольск автомобиль ехал со скоростью v₁ = 90$\frac{км}{ч}$. Оставшийся путь s = 20 км из-за поломки пришлось ехать со скоростью v₂ = 10$\frac{км}{ч}$. Сколько времени двигался автомобиль до Подольска? С какой постоянной скоростью должен двигаться велосипедист, чтобы преодолеть это расстояние за то же время, что и автомобиль?

Дано:

Скорость на первой половине пути, $v_1 = 90 \text{ км/ч}$

Расстояние второй половины пути, $s_2 = 20 \text{ км}$

Скорость на второй половине пути, $v_2 = 10 \text{ км/ч}$

Из условия "первую половину пути" следует, что длина первого участка пути $s_1$ равна длине второго $s_2$. Следовательно, $s_1 = s_2 = 20 \text{ км}$.

Перевод данных в систему СИ:

$s_1 = 20 \text{ км} = 20 \cdot 1000 = 20000 \text{ м}$

$s_2 = 20 \text{ км} = 20 \cdot 1000 = 20000 \text{ м}$

$v_1 = 90 \text{ км/ч} = \frac{90 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

$v_2 = 10 \text{ км/ч} = \frac{10 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{36} \text{ м/с} = \frac{25}{9} \text{ м/с} \approx 2.78 \text{ м/с}$

Найти:

Общее время движения автомобиля, $t_{общ}$ - ?

Постоянная скорость велосипедиста, $v_{вел}$ - ?

Решение:

Сколько времени двигался автомобиль до Подольска?

Общее время движения автомобиля $t_{общ}$ складывается из времени движения на первом участке $t_1$ и на втором участке $t_2$: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

Время движения на каждом участке находим по формуле $t = \frac{s}{v}$. Для удобства будем вести расчеты в километрах и часах.

Время движения на первом участке, где $s_1 = 20 \text{ км}$ и $v_1 = 90 \text{ км/ч}$:

$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{20 \text{ км}}{90 \text{ км/ч}} = \frac{2}{9} \text{ ч}$.

Время движения на втором участке, где $s_2 = 20 \text{ км}$ и $v_2 = 10 \text{ км/ч}$:

$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{20 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Суммарное время в пути:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{2}{9} \text{ ч} + 2 \text{ ч} = \frac{2}{9} \text{ ч} + \frac{18}{9} \text{ ч} = \frac{20}{9} \text{ ч}$.

Для наглядности можно перевести это время в часы, минуты и секунды: $\frac{20}{9} \text{ ч} = 2 \frac{2}{9} \text{ ч} = 2 \text{ ч} + \frac{2}{9} \cdot 60 \text{ мин} = 2 \text{ ч} + 13 \frac{1}{3} \text{ мин} = 2 \text{ ч} \; 13 \text{ мин} \; 20 \text{ с}$.

Ответ: автомобиль двигался до Подольска $\frac{20}{9}$ часа, что составляет 2 часа 13 минут 20 секунд.

С какой постоянной скоростью должен двигаться велосипедист, чтобы преодолеть это расстояние за то же время, что и автомобиль?

Чтобы преодолеть то же расстояние за то же время, велосипедист должен двигаться со скоростью, равной средней скорости автомобиля на всем пути. Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Общее расстояние $S_{общ}$ равно сумме расстояний двух участков:

$S_{общ} = s_1 + s_2 = 20 \text{ км} + 20 \text{ км} = 40 \text{ км}$.

Общее время движения, как мы нашли ранее, составляет $t_{общ} = \frac{20}{9} \text{ ч}$.

Рассчитаем скорость велосипедиста:

$v_{вел} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{40 \text{ км}}{\frac{20}{9} \text{ ч}} = 40 \cdot \frac{9}{20} \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$.

Ответ: велосипедист должен двигаться с постоянной скоростью 18 км/ч.