Эксперимент в классе, страница 208 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент в классе

Вырежьте из плотной бумаги фигуру как на рис. 196. Определите центр масс. Оцените качество выполненного эксперимента, подставив под найденную точку острие карандаша. Фигура должна находиться в равновесии.

Рис. 196. На пересечении линий АВ и CD находится центр масс тела

Задача заключается в экспериментальном определении центра масс плоской фигуры и проверке результата. Центр масс — это точка, к которой условно приложена сила тяжести, действующая на тело. Если тело опереть в этой точке, оно будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

Метод, предложенный в задании, основан на свойстве центра масс составных тел. Если тело можно мысленно разделить на несколько частей, то общий центр масс всего тела будет лежать на отрезке, соединяющем центры масс этих частей (в случае двух частей). Используя два разных способа разделения фигуры на части, можно найти две линии, на которых должен лежать центр масс. Точка пересечения этих линий и будет искомым центром масс всей фигуры.

1. Подготовка. Возьмите лист плотной бумаги или картона. Начертите на нем фигуру в форме буквы "Г", как показано на рисунке. Для удобства можно составить ее из квадрата со стороной 10 см и прямоугольника размером 10 см × 5 см, примыкающего к одной из сторон квадрата. Аккуратно вырежьте фигуру по контуру. Чем точнее вырезана фигура и чем однороднее материал, тем точнее будет результат.

2. Первое разделение (поиск линии AB).

- Мысленно или с помощью карандаша разделите вашу Г-образную фигуру на два прямоугольника (или квадрат и прямоугольник), как показано на левом рисунке. Например, на большой вертикальный прямоугольник и малый горизонтальный.

- В каждом из этих прямоугольников проведите диагонали. Точки их пересечения (A и B) являются центрами масс этих частей.

- Соедините точки A и B прямой линией. Общий центр масс всей фигуры лежит на этой линии AB.

3. Второе разделение (поиск линии CD).

- Теперь разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на правом рисунке. Например, на широкий нижний прямоугольник и узкий верхний.

- Аналогично найдите центры масс этих новых частей (C и D), проведя в каждой из них диагонали.

- Соедините точки C и D прямой линией. Общий центр масс также должен лежать и на этой линии.

4. Определение центра масс.

- Поскольку центр масс всей фигуры должен принадлежать одновременно и линии AB, и линии CD, он находится в точке их пересечения. Отметьте эту точку. Это и есть искомый центр масс фигуры.

5. Проверка.

- Возьмите карандаш с острым грифелем или иглу.

- Установите фигуру на острие так, чтобы оно пришлось точно в найденную точку центра масс.

- Если фигура сохраняет горизонтальное положение и не падает, находясь в равновесии, значит, центр масс найден верно.

Чтобы доказать корректность графического метода, проведем вычисления для конкретной фигуры. Пусть наша Г-образная фигура состоит из квадрата со стороной 2 см и примыкающего к нему справа прямоугольника размерами 2 см × 1 см, как показано на схеме ниже (начало координат в левом нижнем углу).

Дано:

Фигура состоит из двух прямоугольников:

1. Вертикальный квадрат (R1) со стороной $a=2$ см. Его площадь $S_1 = a^2 = 4$ см$^2$. Координаты его центра масс $A = (1, 1)$.

2. Горизонтальный прямоугольник (R2) с размерами $2 \times 1$ см. Его площадь $S_2 = 2 \times 1 = 2$ см$^2$. Координаты его центра масс $B = (3, 0.5)$.

Найти:

Координаты центра масс $(x_{цм}, y_{цм})$ всей фигуры.

Решение:

Координаты центра масс системы тел вычисляются по формулам:

$x_{цм} = \frac{x_1 S_1 + x_2 S_2}{S_1 + S_2}$

$y_{цм} = \frac{y_1 S_1 + y_2 S_2}{S_1 + S_2}$

Подставим наши значения:

$x_{цм} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4 + 2} = \frac{4 + 6}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ см

$y_{цм} = \frac{1 \cdot 4 + 0.5 \cdot 2}{4 + 2} = \frac{4 + 1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.83$ см

Теперь проверим, получим ли мы тот же результат, используя второй способ разделения (линия CD).

3. Верхний прямоугольник (R3) $2 \times 1$ см. $S_3=2$ см$^2$. Центр $C = (1, 1.5)$.

4. Нижний прямоугольник (R4) $4 \times 1$ см. $S_4=4$ см$^2$. Центр $D = (2, 0.5)$.

Найдем точку пересечения прямых AB и CD.

Уравнение прямой AB, проходящей через $A(1, 1)$ и $B(3, 0.5)$:

$\frac{y - 1}{0.5 - 1} = \frac{x - 1}{3 - 1} \Rightarrow \frac{y-1}{-0.5} = \frac{x-1}{2} \Rightarrow 4(y-1) = -(x-1) \Rightarrow 4y - 4 = -x + 1 \Rightarrow x + 4y = 5$

Уравнение прямой CD, проходящей через $C(1, 1.5)$ и $D(2, 0.5)$:

$\frac{y - 1.5}{0.5 - 1.5} = \frac{x - 1}{2 - 1} \Rightarrow \frac{y-1.5}{-1} = \frac{x-1}{1} \Rightarrow y - 1.5 = -(x-1) \Rightarrow y - 1.5 = -x + 1 \Rightarrow x + y = 2.5$

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + 4y = 5 \\ x + y = 2.5 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = 2.5 - y$. Подставим в первое:

$(2.5 - y) + 4y = 5 \Rightarrow 3y = 2.5 \Rightarrow y = \frac{2.5}{3} = \frac{5/2}{3} = \frac{5}{6}$

$x = 2.5 - \frac{5}{6} = \frac{5}{2} - \frac{5}{6} = \frac{15}{6} - \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Координаты точки пересечения $(\frac{5}{3}, \frac{5}{6})$ совпали с координатами центра масс, вычисленными по формулам. Это доказывает, что графический метод верен.

Если в ходе проверки фигура не удерживается в равновесии, это может быть вызвано несколькими причинами:

• Неоднородность материала (например, бумага разной плотности или толщины).
• Погрешности при вычерчивании или вырезании фигуры.
• Неточности при построении диагоналей и нахождении центров A, B, C, D.
• Смещение острия карандаша относительно найденной точки пересечения.

Тщательное и аккуратное выполнение всех шагов является залогом успешного проведения эксперимента.

Ответ:

Для определения центра масс Г-образной фигуры необходимо дважды разделить ее на простые прямоугольные части разными способами. В каждом случае, соединив прямой линией центры масс частей, мы получаем линию, на которой лежит общий центр масс. Точка пересечения двух таких линий, полученных при разных способах разделения, и является искомым центром масс всей фигуры. Правильность его нахождения проверяется установкой фигуры на острие в найденной точке: фигура должна оставаться в горизонтальном равновесии.