Номер 1310, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 14 - номер 1310, страница 334.

Условие.

1310 Правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания $a$ и плоским углом $\alpha$ при вершине вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $S-ABCD$ с вершиной $S$. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$. Плоский угол при вершине равен $\alpha$, то есть, например, $\angle BSC = \alpha$. Ось вращения $l$ проходит через вершину $S$ и параллельна одной из сторон основания, например, стороне $BC$.

Для нахождения объёма тела вращения воспользуемся методом декомпозиции. Объём искомого тела можно представить как разность объёмов двух тел:
1. Тела $T_1$, образованного вращением боковых граней $SBC$ и $SAD$, наиболее удалённых от оси вращения.
2. Тела $T_2$, образованного вращением боковых граней $SAB$ и $SCD$, наиболее близких к оси вращения.

Объём тела вращения, полученного вращением плоской фигуры, можно найти с помощью второй теоремы Паппа-Гульдина: $V = 2\pi R \cdot A$, где $A$ — площадь фигуры, а $R$ — расстояние от её центроида до оси вращения.

1. Найдём вспомогательные параметры пирамиды.

Рассмотрим боковую грань, например, равнобедренный треугольник $SBC$. Его боковые стороны — это рёбра пирамиды, обозначим их длину $b=SB=SC$. Основание $BC=a$. По теореме косинусов для $\triangle SBC$:
$a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 \cos\alpha = 2b^2(1-\cos\alpha) = 4b^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$
Отсюда длина бокового ребра: $b = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$.

Пусть $K$ — середина стороны $BC$. Тогда $SK$ — апофема боковой грани. Обозначим её длину $h_l$. Из прямоугольного треугольника $SKC$:
$h_l = SK = \sqrt{SC^2 - KC^2} = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} - \frac{a^2}{4}}$
$h_l = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{\sin^2(\alpha/2)} - 1} = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1-\sin^2(\alpha/2)}{\sin^2(\alpha/2)}} = \frac{a}{2}\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} = \frac{a}{2}\cot\frac{\alpha}{2}$.

Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). $SO$ — высота пирамиды, обозначим её $h$. $OK = a/2$. Из прямоугольного треугольника $SOK$:
$h = SO = \sqrt{SK^2 - OK^2} = \sqrt{h_l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4}\cot^2\frac{\alpha}{2} - \frac{a^2}{4}}$
$h = \frac{a}{2}\sqrt{\cot^2\frac{\alpha}{2} - 1}$.
Для существования пирамиды необходимо, чтобы $h>0$, что означает $\cot^2(\alpha/2) > 1$, или $\alpha < \pi/2$.

2. Введём систему координат.

Поместим вершину пирамиды $S$ в точку $(0, 0, h)$, а центр основания $O$ — в начало координат $(0, 0, 0)$. Основание $ABCD$ лежит в плоскости $z=0$. Пусть оси $Ox$ и $Oy$ параллельны сторонам основания. Вершины основания имеют координаты: $A(-a/2, -a/2, 0)$, $B(a/2, -a/2, 0)$, $C(a/2, a/2, 0)$, $D(-a/2, a/2, 0)$.
Ось вращения $l$ проходит через вершину $S(0,0,h)$ и параллельна стороне $BC$. Сторона $BC$ параллельна оси $Oy$. Следовательно, ось вращения $l$ — это прямая, задаваемая уравнениями $x=0, z=h$.

3. Вычислим объёмы тел вращения.

a) Объём $V_1$, порождённый вращением граней $SBC$ и $SAD$.
Рассмотрим грань $SBC$. Её вершины: $S(0,0,h)$, $B(a/2, -a/2, 0)$, $C(a/2, a/2, 0)$.
Площадь треугольника $SBC$: $A_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_l = \frac{1}{2} a h_l$.
Центроид $M_1$ треугольника $SBC$ имеет координаты, равные среднему арифметическому координат его вершин:
$M_1 = \left(\frac{0+a/2+a/2}{3}, \frac{0-a/2+a/2}{3}, \frac{h+0+0}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3}\right)$.
Расстояние $R_1$ от центроида $M_1$ до оси вращения $l$ (прямая $x=0, z=h$):
$R_1 = \sqrt{(\frac{a}{3}-0)^2 + (\frac{h}{3}-h)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + \frac{4h^2}{9}} = \frac{1}{3}\sqrt{a^2+4h^2}$.
Заметим, что $h_l = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+4h^2}$, откуда $\sqrt{a^2+4h^2} = 2h_l$.
Следовательно, $R_1 = \frac{2}{3}h_l$.
Объём тела, образованного вращением $\triangle SBC$: $V_{SBC} = 2\pi R_1 A_{SBC} = 2\pi \cdot \frac{2h_l}{3} \cdot \frac{ah_l}{2} = \frac{2\pi a h_l^2}{3}$.
Грань $SAD$ симметрична грани $SBC$ относительно плоскости $yOz$, поэтому объём тела её вращения такой же. Тела вращения не пересекаются (кроме плоскости $x=0$), поэтому их объёмы складываются.
$V_1 = V_{SBC} + V_{SAD} = 2 \cdot \frac{2\pi a h_l^2}{3} = \frac{4\pi a h_l^2}{3}$.

б) Объём $V_2$, порождённый вращением граней $SAB$ и $SCD$.
Рассмотрим грань $SCD$. Её вершины: $S(0,0,h)$, $C(a/2, a/2, 0)$, $D(-a/2, a/2, 0)$.
Площадь треугольника $SCD$: $A_{SCD} = \frac{1}{2} a h_l$.
Центроид $M_2$ треугольника $SCD$:
$M_2 = \left(\frac{0+a/2-a/2}{3}, \frac{0+a/2+a/2}{3}, \frac{h+0+0}{3}\right) = \left(0, \frac{a}{3}, \frac{h}{3}\right)$.
Расстояние $R_2$ от центроида $M_2$ до оси вращения $l$ (прямая $x=0, z=h$):
$R_2 = \sqrt{(0-0)^2 + (\frac{h}{3}-h)^2} = \sqrt{(-\frac{2h}{3})^2} = \frac{2h}{3}$.
Объём тела, образованного вращением $\triangle SCD$: $V_{SCD} = 2\pi R_2 A_{SCD} = 2\pi \cdot \frac{2h}{3} \cdot \frac{ah_l}{2} = \frac{2\pi a h h_l}{3}$.
Аналогично, объём тела вращения грани $SAB$ равен $V_{SCD}$.
$V_2 = V_{SAB} + V_{SCD} = 2 \cdot \frac{2\pi a h h_l}{3} = \frac{4\pi a h h_l}{3}$.

4. Найдём итоговый объём.

Объём тела вращения пирамиды равен разности $V = V_1 - V_2$:
$V = \frac{4\pi a h_l^2}{3} - \frac{4\pi a h h_l}{3} = \frac{4\pi a h_l}{3}(h_l - h)$.
Подставим выражения для $h_l$ и $h$ через $a$ и $\alpha$:
$V = \frac{4\pi a}{3} \left(\frac{a}{2}\cot\frac{\alpha}{2}\right) \left[ \frac{a}{2}\cot\frac{\alpha}{2} - \frac{a}{2}\sqrt{\cot^2\frac{\alpha}{2} - 1} \right]$
$V = \frac{4\pi a}{3} \cdot \frac{a^2}{4} \cot\frac{\alpha}{2} \left[ \cot\frac{\alpha}{2} - \sqrt{\cot^2\frac{\alpha}{2} - 1} \right]$
$V = \frac{\pi a^3}{3} \cot\frac{\alpha}{2} \left( \cot\frac{\alpha}{2} - \sqrt{\cot^2\frac{\alpha}{2} - 1} \right)$
$V = \frac{\pi a^3}{3} \left( \cot^2\frac{\alpha}{2} - \cot\frac{\alpha}{2}\sqrt{\cot^2\frac{\alpha}{2} - 1} \right)$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{3} \left( \cot^2\frac{\alpha}{2} - \cot\frac{\alpha}{2}\sqrt{\cot^2\frac{\alpha}{2} - 1} \right)$.