Номер 1307, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 14 - номер 1307, страница 334.

Условие.

1307 Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Эта задача известна как «Куб принца Руперта». Чтобы доказать, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое пройдет куб такого же размера, нужно показать две вещи:

1. Существует отверстие, которое можно вырезать в первом кубе (назовем его куб А), не нарушив его связности (то есть не разделив его на части).
2. Второй куб (назовем его куб Б) может пройти через это отверстие.

Пусть оба куба имеют ребро длиной $a$.

1. Прохождение куба через отверстие

Рассмотрим, какое отверстие необходимо для того, чтобы через него мог пройти куб Б. Минимальная ширина любого тела определяет минимальную ширину отверстия, через которое оно может пройти. Ширина выпуклого тела — это минимальное расстояние между двумя параллельными опорными плоскостями. Для куба с ребром $a$ ширина равна $a$. Это означает, что проекция куба на любую плоскость будет иметь ширину не менее $a$.

Следовательно, чтобы куб Б мог пройти через отверстие, это отверстие в любом направлении должно иметь ширину не менее $a$. Простейшая форма такого отверстия — это призма с квадратным сечением со стороной $a$. Если мы сделаем в кубе А сквозное отверстие в виде призмы с квадратным сечением $a \times a$, то куб Б сможет через него пройти, если будет двигаться параллельно оси призмы, а его грани будут параллельны сторонам квадратного сечения.

2. Возможность вырезать отверстие в кубе

Теперь докажем, что в кубе А можно вырезать призматическое отверстие с квадратным сечением $a \times a$, не разрушив его. Интуитивно кажется, что это невозможно, так как размер отверстия совпадает с размером куба. Однако это возможно, если ось отверстия направить не перпендикулярно граням куба, а под углом.

Разместим куб А в системе координат так, чтобы его центр находился в начале координат, а ребра были параллельны осям. Вершины куба будут иметь координаты $(\pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})$.

Выберем направление для оси отверстия. Пусть ось отверстия будет параллельна диагонали одной из граней куба, например, вектору $\vec{d} = (1, 1, 0)$.

Чтобы понять, поместится ли такое отверстие в кубе, нужно рассмотреть проекцию куба А на плоскость, перпендикулярную оси отверстия. Если сечение отверстия (квадрат $a \times a$) помещается в эту проекцию, то отверстие можно вырезать.

Плоскость, перпендикулярная вектору $\vec{d} = (1, 1, 0)$, задается уравнением $x + y = 0$. Найдем вид проекции куба на эту плоскость. Проще всего это сделать, найдя размеры проекции вдоль двух перпендикулярных направлений в этой плоскости. Возьмем в качестве базисных векторов плоскости проекции векторы $\vec{v_1} = (1, -1, 0)$ и $\vec{v_2} = (0, 0, 1)$.

Проекция любой точки куба $P=(x, y, z)$ на эти оси будет иметь координаты, пропорциональные скалярным произведениям $P \cdot \vec{v_1}$ и $P \cdot \vec{v_2}$.

Размер проекции вдоль оси $\vec{v_1}$:Максимальное значение $x-y$ для точки в кубе достигается при $x = a/2$ и $y = -a/2$ и равно $a$. Минимальное значение равно $-a$. Таким образом, полная ширина проекции в этом направлении равна $a\sqrt{2}$ (учитывая нормировку вектора $\vec{v_1}$).

Размер проекции вдоль оси $\vec{v_2}$:Максимальное значение $z$ равно $a/2$, минимальное $-a/2$. Ширина проекции в этом направлении равна $a$.

Таким образом, проекция куба А на плоскость, перпендикулярную оси отверстия, представляет собой прямоугольник со сторонами $a\sqrt{2}$ и $a$.

Квадратное сечение отверстия со стороной $a$ можно вписать в этот прямоугольник $a\sqrt{2} \times a$. Это означает, что призма с таким сечением пройдет внутри куба, не задевая его частей, которые проецируются на области прямоугольника вне квадрата.

3. Связность куба после вырезания отверстия

Так как квадрат $a \times a$ меньше, чем прямоугольник проекции $a\sqrt{2} \times a$, после вырезания отверстия останутся части куба. Эти части соответствуют углам куба, которые "выступают" за пределы проекции отверстия. Например, вершины $(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ и $(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$ остаются соединенными через ребро. Эти оставшиеся части соединены между собой, сохраняя целостность куба.

Таким образом, мы показали, что в кубе можно вырезать сквозное квадратное отверстие со стороной $a$, если направить его вдоль диагонали грани. Через такое отверстие может пройти другой куб с ребром $a$.

Ответ:Утверждение доказано. Можно вырезать сквозное отверстие в виде призмы с квадратным основанием $a \times a$, ось которой параллельна диагонали одной из граней куба. Проекция куба на плоскость, перпендикулярную этой оси, представляет собой прямоугольник $a\sqrt{2} \times a$, в который вписывается квадрат $a \times a$. Это гарантирует, что отверстие не разрушит куб, а оставит его связным. Через такое отверстие может пройти куб таких же размеров.