Номер 1300, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1300, страница 334.

Условие.

1300 Постройте треугольник по трём медианам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим длины его медиан, проведенных из вершин $A, B, C$, как $m_a, m_b, m_c$ соответственно. Пусть $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$, а $A_1$ — середина стороны $BC$.

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:

$AM = \frac{2}{3}m_a, MA_1 = \frac{1}{3}m_a$

$BM = \frac{2}{3}m_b$

$CM = \frac{2}{3}m_c$

Продолжим медиану $AA_1$ за точку $A_1$ на ее длину и отложим отрезок $A_1D$, равный $MA_1$. Таким образом, $MD = 2MA_1 = \frac{2}{3}m_a$. Рассмотрим четырехугольник $BMCD$. Его диагонали $BC$ и $MD$ пересекаются в точке $A_1$, которая является серединой каждой из них ($A_1$ — середина $BC$ по определению медианы, и середина $MD$ по построению). Следовательно, $BMCD$ — параллелограмм.

Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны: $BD = CM = \frac{2}{3}m_c$.

Теперь рассмотрим треугольник $MBD$. Его стороны имеют следующие длины:

• $MB = \frac{2}{3}m_b$
• $BD = \frac{2}{3}m_c$
• $DM = \frac{2}{3}m_a$

Таким образом, мы можем построить треугольник $MBD$ по трем сторонам, длины которых составляют $2/3$ от длин заданных медиан. После построения этого вспомогательного треугольника мы сможем восстановить искомый треугольник $ABC$. Для существования такого треугольника необходимо, чтобы данные длины медиан $m_a, m_b, m_c$ удовлетворяли неравенству треугольника.

Построение

Пусть даны три отрезка с длинами $m_a, m_b, m_c$.

1. Для каждого из данных отрезков $m_a, m_b, m_c$ построим отрезки, длины которых равны $2/3$ от их исходной длины. (Это стандартная задача на деление отрезка в заданном отношении с помощью теоремы Фалеса). Получим отрезки длиной $\frac{2}{3}m_a, \frac{2}{3}m_b, \frac{2}{3}m_c$.
2. Построим треугольник $MBD$ по трем сторонам: $MB = \frac{2}{3}m_b$, $BD = \frac{2}{3}m_c$, $DM = \frac{2}{3}m_a$.
3. Найдем середину $A_1$ отрезка $DM$ (с помощью циркуля и линейки).
4. Проведем прямую через точки $B$ и $A_1$.
5. На этой прямой от точки $A_1$ отложим отрезок $A_1C$, равный отрезку $BA_1$, так, чтобы точка $A_1$ лежала между $B$ и $C$.
6. Проведем прямую через точки $A_1$ и $M$.
7. На этой прямой от точки $M$ отложим отрезок $MA$, равный отрезку $DM$ (или $2MA_1$), так, чтобы точка $M$ лежала между $A$ и $A_1$.
8. Соединим точки $A, B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

По построению, точка $A_1$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, отрезок $AA_1$ — медиана треугольника $ABC$. Точка $M$ лежит на этой медиане. Длина этой медианы $AA_1 = AM + MA_1$. По построению $AM = DM = \frac{2}{3}m_a$ и $A_1$ — середина $DM$, поэтому $MA_1 = \frac{1}{2}DM = \frac{1}{3}m_a$. Таким образом, $AA_1 = \frac{2}{3}m_a + \frac{1}{3}m_a = m_a$. Первая медиана имеет заданную длину.

Также по построению $M$ делит медиану $AA_1$ в отношении $AM:MA_1 = (\frac{2}{3}m_a):(\frac{1}{3}m_a) = 2:1$.

Рассмотрим четырехугольник $BMCD$. Так как его диагонали $BC$ и $MD$ по построению делятся точкой их пересечения $A_1$ пополам, то $BMCD$ — параллелограмм. Отсюда следует, что $CM = BD$. По построению $BD = \frac{2}{3}m_c$, значит $CM = \frac{2}{3}m_c$.

Чтобы доказать, что построенная точка $M$ является центроидом треугольника $ABC$, достаточно доказать, что $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$.

Из того, что $BMCD$ — параллелограмм, по правилу параллелограмма для векторов имеем: $\vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MA_1}$. А так как $\vec{MC} = \vec{DB} = -\vec{BD}$, то $\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{DB}$.

Воспользуемся другим подходом. Так как $M$ делит медиану $AA_1$ в отношении 2:1, то для любой точки $O$ (в частности, для самой точки $M$) выполняется векторное равенство $\vec{M} = \frac{1\vec{A} + 2\vec{A_1}}{3}$. Поскольку $A_1$ — середина $BC$, $\vec{A_1} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}$. Подставив второе в первое, получаем $3\vec{M} = \vec{A} + 2(\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}) = \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}$. Если в качестве начала отсчета взять точку $M$, то $\vec{M}=\vec{0}$, и равенство принимает вид $\vec{A}+\vec{B}+\vec{C} = \vec{0}$, что доказывает, что $M$ — центроид $\triangle ABC$.

Раз $M$ — центроид, то отрезки, выходящие из вершин $B$ и $C$ и проходящие через $M$, являются медианами. Длины этих медиан равны:

Медиана из $B$: $m_b' = \frac{3}{2}BM$. По построению $BM = \frac{2}{3}m_b$, следовательно, $m_b' = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.

Медиана из $C$: $m_c' = \frac{3}{2}CM$. Мы показали, что $CM = \frac{2}{3}m_c$, следовательно, $m_c' = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет медианы с заданными длинами $m_a, m_b, m_c$.

Ответ: Построенный по описанному алгоритму треугольник $ABC$ является искомым.